三棱柱体积公式

高二数学棱柱的体积

棱柱的体积

教材上海教育出版社高中二年级第二学期（试验本）

教学目标

（1）理解祖原理的含义，理解利用祖原理计算几何体体积的

方法；

（2）在发现祖原理的过程中，体会从"平面"到"空间"的类比、

猜想、论证的数学思想方法；体会祖原理中由"面积都相等"

推出"体积相等"的辩证法的思想；

（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从

一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基

本方法；掌握棱柱的体积公式，并会利用棱柱的体积公式解

决实际问题；

（4）通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研

究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴

趣.

教学重点

祖原理和棱柱体积公式的推导.

教学难点

祖原理的含义.

教学过程

一、实际问题引入，说明研究棱柱体积的必要性：

引例：青藏铁路是西部大开发标志性工程，计划投资约262

亿元，铁路全长1142公里，是世界上海拔最高，线路最长，

穿越冻土里程最长的高原铁路．针对不同情况的多年冻土，

有不同的解决办法与技术．比如埋设热棒或通风管，就是在

路堤中埋设直径30厘米左右的金属或混凝土横向通风管，

可以有效降低路基温度；也可以采用抛石路基，即用碎块石

填筑路基，利用填石路基的通风透气性，隔阻热空气下移，

同时吸入冷量，起到保护冻土的作用；在少数极不稳定冻土

地段修建低架旱桥，工程效果有保证，但造价高．

假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫．已知路基的形

状尺寸如图所示（单位：米），问每修建1千米铁路需要碎

石多少立方米？

说明：在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水

利、修建道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材

数量和容积．因此有必要研究几何体的体积计算．上例就是

一个直四棱柱的体积计算问题．

提出问题：棱柱的体积如何计算？

二、探究棱柱体积公式

1．从已知到未知，从特殊到一般：

首先想到已经学过的正方体、长方体的体积公式，然后探究

一般棱柱的体积公式．

（1）（－棱长）；

（2）长方体（－长，－宽，－高，－底面积）

2．进一步考虑正方体、长方体的体积公式的来龙去脉：

（1）请学生谈谈对体积的理解，并小结：几何体占空间部分

的大小叫做它的体积．

（2）提问：体积是如何度量的？(类比长度的度量和面积的

度量)

学生讨论后小结：

1）我们在度量长度时，有一个标准，比如说，1米，1厘米

等；将一段线段用1厘米来截，看这个线段是1厘米的多少

个倍数，就是这个线段有多少厘米．5倍就是5厘米，1.5倍

就是1.5厘米．

2）在度量面积时，也有一个标准，比如说1平方米即边长为

1米的正方形作为1个单位面积，去度量平面图形的面

积．因此，我们容易得到正方形的面积等于棱长的平方，长

方形的面积等于底乘以高．因为任意多边形都可以分割成若

干个三角形，三角形可以补成平行四边形，平行四边形可以

割补成长方形，所以任意平面多边形的面积都可以度

量．（直边形）

3）在体积中，我们也要先选定一个单位，用来度量体积，然

后求出几何体是单位体积的多少倍，多少个倍数就是几何体

的体积数值．通常把棱长等于单位长度的正方体所占空间的

大小作为一个体积单位．只要直接把单位正方体尽可能地堆

在所量的几何体内，来确定所量几何体的体积的量数．因此

我们容易得到正方体和长方体的体积公式，但是不容易得到

一般棱柱的体积公式．（可以先把一般棱柱分割成三棱柱，

三棱柱补成平行六面体，平行六面体割补成长方体）

4）如何找到长方体的体积和一般棱柱的体积之间的关系？

3．从平面到空间的类比猜想：（利用几何画板的动态演示）

（1）等底等高的长方形和平行四边形的面积有何关系？

（2）等底等高的三角形的面积有何关系？

（3）等底等高的梯形的面积有何关系？

结论：根据面积公式我们可以得到面积均相等．初中我们学

过的面积公式的推导是因为任意平面多边形（直边形）都可

以用割补的方法转化为长方形的面积得到．在利用几何画板

动态演示的过程中，我们发现，用平行于底边的任意直线截

两个平面图形得到的截线长度总相等．

启发思考：这是否可以成为两个平面图形面积相等的条件呢？

继续探究：线是由无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构

成的，立体是由无穷多个平面构成的．因此我们可以得到：

夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直

线的任意直线所截，如果所得的两条截线长度相等，那么，

这两个平面图形的面积相等．

猜想：类比到两个空间图形体积相等的条件有什么相似的结

论呢？用平行于底面的任意平面截两个空间图形得到的截面

面积总相等，则这两个空间图形的体积相等．

4．祖原理的引入--利用"小试验"验证以上猜想：

（1）取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上，然后用手推

一下以改变其形状．

启发思考：

1)推斜以后体积变化了吗？（几何体所占空间的大小不变）

2)推斜前后的两个几何体（前为长方体，后为平行六面体）

还有什么共同之处？（高度没有改变，每页纸张的顺序和面

积也没有改变）

3)这种共同之处是不是就是两个几何体体积相等的条件呢？

（2）用一摞不同的书，推移成各种形状，继续探讨结论是否

正确．（不一定是棱柱）

（3）由学生总结归纳出祖原理的大致内容．

5．祖原理："夫叠成立积，缘幂势既同，则积不容异"．

（1）内容解释：这里的"幂"是指水平截面的面积，"势"是指

高．

即体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空

间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间

图形的体积必然相等．

还可表达为：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于

这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总

相等，那么这两个几何体的体积相等．（我国古代数学家祖

在实践的基础上，明确肯定了这一点）

（2）由"面积都相等"推出"体积相等"，体会辩证法的思想．

（3）祖原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数学

的相关知识，中学阶段不能证明．它只能判定两个几何体是

否等积，不能用它具体求出某几何体的体积．要想完成求体

积的任务，还必须已知一个几何体的体积作为基础．

（4）几何画板动态演示任意一个平面截两个几何体所得截面

的各种位置．

6．利用祖原理推导棱柱体积公式：

（1）利用祖原理推导棱柱体积，需要构造一个几何体，此几

何体必须符合两个条件：它的计算公式是已知的；它符合祖

原理的条件，即该几何体与棱柱能夹在两个平行平面之间，

且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的

截面面积总相等．

（2）方法：如果一个棱柱与一个长方体的高相同（都为）且

底面面积相等（都为），那么当我们用一个与底面平行的平

面去截它们时，可以证明截面的面积都等于各自底面的面积，

根据祖原理可知，棱柱的体积与长方体的体积相等，即，其

中表示棱柱的体积，表示棱柱底面的面积，表示棱柱的高．

7．介绍祖冲之父子及我国古代数学家和西方数学家对几何

体体积的研究：

中国古代数学，在魏晋南北朝达到新的高峰．这一时期的代

表人物是刘徽（公元263年左右）、祖冲之（429－500）和

他的儿子祖．刘徽为《九章算术》作注，祖冲之父子在此基

础上撰写了《缀术》等著作．祖冲之精确地计算圆周率，提

出约率和密率，是世界数学史上的重大成就．他们三人还先

后研究并最终给出了球的体积公式．在这过程中，他们利用

了"夫叠成立积，缘幂势既同，则积不容异"的原理，唐朝的

李淳风在为《九章算术》作注时称求球体体积公式的方法是"

祖之开立园术"，祖之即祖，因此我国称之为祖原理．意大

利数学家卡瓦列里1635年提出了相同的原理，西方称之为

卡瓦列里原理，为微积分学创立作了准备．

8．祖原理的简单应用：

（1）底面积和高都相等的圆柱和长方体的体积相等吗？

（2）底面积和高都相等的斜六棱柱和三棱锥的体积相等吗？

三、巩固与应用

1．引例的解答：这是一个底面是梯形的直四棱柱的体积问

题．．2．例2．已知三棱柱的底面为直角三角形，两直角边

和的长分别为和，侧棱的长为，求满足下列条件的三棱柱的

体积：

（1）侧棱垂直于底面；

（2）侧棱与底面所成的角为．

解：（1）因为侧棱底面，所以三棱柱的高等于侧棱的长，而

底面三角形的面积，于是三棱柱的体积．（2）如图所示，过

作平面的垂线，垂足为，

于是为三棱柱的高．因为侧棱与底面所成的角为，所以,可

计算得

又由（1）可知底面三角形的面积，故三棱柱的体积

3．例3．一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示

（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝

土？（钢筋体积略去不计，精确到立方米）

解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的

直四棱柱．

（平方米），

（立方米）．

答：略．

说明：在实际问题中，可能需要将几何体割、补成棱柱，然

后计算其体积，本题意在提高学生这方面的能力．

四、课堂小结：

1．学生小结：

2．老师小结：

（1）本节课的主要内容有两个：一是棱柱体积公式的推

导．所采用的方法是利用祖原理，根据长方体的体积公式推

导出棱柱的体积公式．应用祖原理可以根据已知几何体的体

积求未知几何体的体积，这是一种求体积的办法，但要注意

是否满足祖原理的条件．二是应用棱柱体积公式解决实际问

题．在具体问题中要结合直观图，认真分析棱柱的底面积和

高从而得到体积．

（2）本节课的数学思想方法主要体现在：由特殊棱柱--长方

体的体积推导一般棱柱的体积，再根据一般棱柱的体积公式

去解决具体问题中的特殊棱柱的体积，这种从特殊到一般，

再从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法常常是学习数学

概念的方法．从两个平面图形面积相等的条件类比猜想到两

个空间图形体积相等的条件，然后在实践中理解论证，这种

归纳、猜想、论证的数学思想方法经常用在发现数学原理和

规律的过程中．在祖原理的理解中，体会由"截线都相等"推

出"面积相等"，由"面积都相等"推出"体积相等"的辩证法的

思想，实际上就是微积分的思想．

（3）若用割补的办法把一般棱柱转化为长方体也是可以的，

但是由于课堂时间有限，留给同学们课后研究．

教学设计说明

体积的计算在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性

认识．本节课用一个需要利用棱柱体积公式才能解决的实际

问题引入，说明研究棱柱体积公式的必要性．这个实例是学

生熟知的青藏铁路的冻土解决方案，具有很强的现实意义，

本节课的重点是棱柱体积公式的推导．首先启发学生思考体

积是如何度量的．从长度的度量、面积的度量都是必须先找

一个度量单位，类比得出体积的度量也是必须先找一个度量

单位即单位正方体所占空间的大小．然后得到正方体和长方

体的体积公式，但是一般棱柱体积的公式不容易得到．通过

几何画板的动态演示，把平面上等底等高的平行四边形面积

相等、等底等高的三角形面积相等的本质揭示出来，即若用

平行于底边的任意直线截两个平面图形得到的截线长度总相

等，则两个平面图形面积相等．然后由学生从平面到空间类

比猜想得出祖原理的基本内容，并且利用实物道具的"小试

验"验证猜想．首先讨论推斜前后的两叠裁切相同的纸的体

积是否相等，主要把握整叠纸张的大小、顺序和厚度不变三

个共同特点．在祖原理内容的理解中，使学生体会从"面积

都相等"得到"体积相等"的辩证法的思想．然后，把"小试验

"中的裁切相同的纸换成一摞不同的书，让学生继续讨论这

摞书经过推斜后是否体积相等，从棱柱到非棱柱，进一步理

解祖原理的含义．因为祖原理的发现是从实践中得来的，因

此设置一些从简单到复杂，从特殊到一般的"小试验"，让学

生观察试验、发现规律、总结规律．通过设置试验和启发引

导，呈现原理的发现过程．用几何画板动态演示"任意一个

平面截两个几何体所得截面的各种位置"，帮助学生理解祖

原理中的"任意"和"总相等"，有效地突破教学难点．最后说

明祖原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数学的

相关知识，中学阶段不能证明．它只能判定两个几何体是否

体积相等，不能用它具体求出某几何体的体积．要想完成求

体积的任务，还必须已知一个几何体的体积作为基础．接下

来，学生利用长方体的体积公式和祖原理很容易就可以推导

出棱柱体积公式．这个过程体现了从已知到未知、从特殊到

一般的学习数学概念的基本方法．最后，通过介绍祖冲之父

子及我国古代数学家和西方数学家对几何体体积的研究，揭

示数学发展过程，体现数学的人文精神，激发学生学习数学

的热情．

巩固和应用中的例题的选取尽量体现在实际生活中的运用，

以激发学生学习的兴趣，增强数学的应用意识.