高数常见求导数题
1.
∫
dx
√
x+1((1+
√
x+1
3
)
=.
解:令t
6=x+1,则dx=6t5dt⇒t=
√x
+16
∫
dx
√
x+1((1+
√
x+13)
=∫
6t5dt
t3(
1+t2)
=∫
6t2dt
1+t2
=6∫
t2+1−1
t2+1
dt
=6∫1dt−6∫
dt
t2+1
=6t−6arctant+C
∴∫
dx
√
x+1((1+
√
x+13)
=6√x+16−6arctan√x+16+C
2.∫
dx
x2−2x+3
=
解：∫
dx
x2−2x+3
=
∫
dx
2+(x−1)2
=1
√
2
∫
1
√
2
dx
1+(
x−1
√
2
)2
=√
2
2
arctan
(x−1
√
2
)
+C
3.
∫
dx
√1+x−x2
=
.解：
∫
dx
√1+x−x2
=∫
dx
√
5
4
−(x2−x+
1
4
)
=∫
dx
√
5
4
−(x−
1
2
)
2
=∫
dx
√5
2
√1−(
2x−1
√5
)
2
=
∫
dx
√5
2
√
1−
(
2x−1
√5
)
2
=
∫
2
√5
dx
√
1−
(
2x−1
√5
)
2
=
∫
1
√
1−
(
2x−1
√5
)
2
d
(
2x−1
√5
)
=arcsin
(
2x−1
√5
)
+C
4.∫
dx
√(1+x2)3
=
解：令x=tant,那么dx=
1
cos2t
dt，易知x∈R⇒t∈(−π
2
,0)∪(0,π
2
)，从而有：sint=
xcost=x√1
1+tan2t
=x
√
1+x2
∫
dx
√(1
+x2)3
=∫
1
cos2t
dt
√(1
+tan2t)3
=∫
1
cos2t
dt
1
cos3t
=∫costdt=sint+C=
x
√1
+x2
+C
∴∫
dx
√(1
+x2)3
=
x
√1+x2
+C
5.
∫
X+1
√X2+X+1
dx=
解：
∫
X+1
√X
2
+X+1
dx=∫
(x+
1
2
+
1
2
)dx
√x2+x+1
=∫
x+
1
2
√x2+x+1
dx+1
2
∫
dx
√x2+x+1
=
∫
2x+1
2√x2+x+1
dx+
1
2
∫
dx
√
(x
+
1
2
)
2
+
3
4
=
√
x2+x+1+
1
2
ln
(x
+
1
2
+
√
(x+
1
2
)
2
+
3
4
)
+C
常用的积分公式及根本类型
(一)
1.
∫
tanxdx=−ln
|
cosx
|
+C
∫
cotxdx=ln
|
sinx
|
+C
2.
∫
tan2xdx=
∫
(
c2x−1
)
dx=
∫
c2xdx−
∫
dx=tanx−x+C
3.
∫
cot2xdx=
∫
(csc2x−1)dx=cotx−x+C
(二)
1..
∫
sinxcosxdx=
sin2x
2
+C=−cos2x
2
+C=−cos2x
4
+C
2.
∫
cos2xcos3xdx=
1
2
∫
[
cos
(
3x+2x
)
+cos
(
3x−2x
)]
dx=
1
2
∫
cos5xdx+1
2
∫
cosxdx=1
10
sin5x+1
2
sinx+C
∫sin3xsin2xdx=
1
2
∫
[
cos
(
3x−2x
)
−cos
(
3x+2x
)]
dx=
1
2
sinx
−
1
10
sin5x+C
3.
∫
cos2xdx=
∫
1+cos2x
2
dx=1
2
∫
dx+1
4
∙
∫
2cos2xdx
=
x
2
+
1
4
sin2x+C
∫sin2xdx=∫
1−cos2x
2
dx=
1
2
∫dx−
1
4
∫2cos2xdx
=
x
2
−
1
4
sin2x+C
4.
∫
cos3xdx=
∫
cos2x∙cosxdx=
∫
(1−sin2x)d(sinx)=sinx−
1
3
sin3x+C
∫sin3xdx=∫sinx2sinxdx=−∫
(
1−cos2x
)
d
(
cosx
)
=
1
3
cos3x
−cosx+C
(三)
1)
∫
cxdx=
∫
dx
cosx
=ln
|
cx+tanx
|
+C
证明：令t=cx=
1
cosx
,那么x=arccos
1
t
易知x∈[0,
π
2
)
∪
(π
2
,π]⇒1
t
∈
[
−1,0
)
∪(0,1];
当x∈[0,
π
2
)
⇒cx>0⇒t>0⇒dx=dt
t√t2−1
,√c2x−1=tanx
⇒∫cxdx=∫t∙
dt
t√t2−1
=∫
dt
√t2−1
=ln|t+
√
t2−1|+C
=ln
|
cx+tanx
|
+C
当x∈
(
π
2
,π]⇒cx<0⇒t<0⇒dx=−dt
t√t2−1
,√c2x−1=
−tanx
⇒∫cxdx=∫−t∙
dt
t√t2−1
=−∫
dt
√t2−1
=−ln|t+
√
t2−1|+C=ln|t−
√
t2−1|+C
=ln
|
cx+tanx
|
+C
从而有
∫
cxdx=
∫
dx
cosx
=ln
|
cx+tanx
|
+C
***
∫
c3xdx=
∫
dx
cos3x
=
∫
1
cosx
1
cos2x
dx=
∫
1
cosx
dtanx=1
cosx
tanx−
∫
tanxd1
cosx
=1
cosx
tanx−
∫
sinx
cosx
sinx
cos2x
dx=1
cosx
tanx−
∫
1−cos2x
cos3x
dx=
1
cosx
tanx−
∫
dx
cos3x
+
∫
dx
cosx
=1
cosx
tanx+ln
|
cx+tanx
|
−
∫
本文发布于:2022-11-13 12:20:15，感谢您对本站的认可！
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