裂项公式

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裂项相消是什么有哪些公式

裂项相消是分解与组合思想在数列求和中的详细应用。裂项

法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消

去一些项，最终达到求和的目的。

裂项相消公式

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）-[1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

裂项相消的例子

[例]求数列an=1/n(n+1)的前n项和.

解：设an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂项）

则Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

＝1-1/(n+1)

＝n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中

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间的大部分项都相互抵消了。只剩下有限的几项。