星形线面积

116

高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社）

习题五答案详解

1．求下列各曲线所围图形的面积：

（1）y=

1

2

x2与x2+y2=8(两部分都要计算)；

解：如图D

1

=D

2

解方程组







y=

1

2

x2

x2+y2=8

得交点A(2，2)

(1)

D

1

=





0

2









8x2

1

2

x2dx=π+

2

3

∴D

1

+D

2

=2π+

4

3

,

D

3

+D

4

=8π









2π+

4

3

=6π

4

3

．

（2）y=

1

x

与直线y=x及x=2；

解：D

1

=





1

2









x

1

x

dx=









1

2

x2lnx

2

1

=

3

2

ln2.

(2)

（3）y=ex，y=e

x与直线x=1；

解：D=





0

1()exe

xdx=e+

1

e

2．

(3)

（4）y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)；

解：D=





lna

ln

beydy=ba．

117

(4)

（5）抛物线y=x2和y=x22；

解：解方程组







y=x2

y=x22

得交点(1，1)，(1，1)

D=





1

1()x2+2x2dx=4





0

1()x2+1dx=

8

3

．

(5)

（6）y=sinx，y=cosx及直线x=

π

4

，x=

9

4

π；

解：D=2











4

5

4(sinxcosx)dx=2[]cosxsinx

5

4



4

=42．

(6)

（7）抛物线y=x2+4x3及其在(0，3)和(3，0)处的切线；

解：y′=2x+4．∴y′(0)=4，y′(3)=2．

∵抛物线在点(0，3)处切线方程是y=4x3

在(3，0)处的切线是y=2x+6

两切线交点是(

3

2

，3)．故所求面积为

(7)

118





3

3

22

2

3

0

2

3

3

22

2

3

0

2

4343d2643d

d69d

9

.

4

Dxxxxxxxx

xxxxx















（8）摆线x=a(tsint)，y=a(1cost)的一拱(0t2)与x轴；

解：当t=0时，x=0,当t=2时，x=2a．

所以





2π2π

00

2π

2

2

0

2

d1cosdsin

1cosd

3π.

aSyxatatt

att

a











(8)

（9）极坐标曲线ρ=asin3φ；

解：D=3D

1

=3·

a2

2







0



3

sin23φdφ

=

3a2

2

·







0



3

1cos6φ

2

dφ

=

3a2

4

·









φ

1

6

sin6φ



3

0

=

a2

4

．

(9)

（10）ρ=2acosφ；

解：D=2D

1

=2







0



2

1

2

·4a2·cos2φdφ

=4a2







0



2

1cos2φ

2

dφ

=4a2·

1

2







φ+

1

2

sin2φ



2

0

=4a2·

1

2

·



2

=a2．

(10)

2．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：

（1）r=a(1+cosθ)及r=2acosθ;

119

解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．

(11)

（2）r=2cosθ及r2=3sin2θ．

解：如图12，解方程组





r=2cosθ

r2=3sin2θ

得cosθ=0或tanθ=

3

3

,

即θ=



2

或θ=



6

．

(12)

D=







0



6

1

2

·3sin2θdθ+











6



2

1

2

·()2cosθ2dθ

=











3

4

cos2θ



6

0

+

θ

2

+









1

4

sin4θ



2



6

=



6

．

3．已知曲线f(x)=xx2与g(x)=ax围成的图形面积等于

9

2

，求常数a．

解：如图13，解方程组





f(x)=xx2

g(x)=ax

得交点坐标为(0，0)，(1a，a(1a))

∴D=





0

1

a()xx2axdx

=









1

2

()1a·x2

1

3

x3

1

a

0

=

1

6

()1a3

依题意得

1

6

()1a3=

9

2

得a=2．

(13)

4．求下列旋转体的体积：

（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；

120

解：求两曲线交点







y=x2

y2=x3

得(0，0)，(1，1)

V=





0

1()x3x4dx

=









1

4

x4

1

5

x5

1

0

=



20

．（14）

（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；

解：见图14，V

x

=





0

2

x6dx=

128

7



V

y

=





0

8









22y

2

3

dy

=

64

5

．

（2）星形线x2/3+y2/3=a2/3绕x轴旋转；

解：见图15，该曲线的参数方程是：







x=acos3t

y=asin3t

0t2，

由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为

V

x

=2





0

ay2dx

=2









2

0

()asin3t2d()acos3t

=6a3







0



2

sin7tcos2tdt

=

32

105

a3

(15)

5．设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，

求这截锥体的体积。

解：如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)，D(A，0)，

于是得到ED所在的直线方程为：y=

h

aA

(xA)

121

(16)

对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆

的半轴为：x

1

=A

Aa

h

y，同理可得该椭圆的另一半轴为：x

2

=B

Bb

h

y．

故该椭圆面积为

A(y)=x

1

x

2

=









A

Aa

h

y









B

Bb

h

y

从而立体的体积为

V=





0

hA()ydy=





0

h









A

Aa

h

y









B

Bb

h

ydy

=

1

6

h[]bA+aB+2()ab+AB.

6．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立

体体积.见图17.

(17)

解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y

轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．

过区间[R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若

设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于

A()x=

3

4

()2y2=3y2=3()R2x2()R≤xR

从而该立体的体积为

V=







R

RA()xdx=







R

R

3()R2x2dx

=

43

3

R3．

7．求下列曲线段的弧长：

（1）y2=2x，0≤x≤2；

解：见图18，2yy′=2．y′=

1

y

∴1+y′2=1+

1

y2

．从而

(18)

l=2





0

21+y′2dx=2





0

2

1+

1

y2

dx

=2





0

21

y

1+y2d

y2

2

=2





0

21+y2dy

122

=y1+y2+ln()y+1+y2

2

0

=25+ln(2+5)

（2）y=lnx，3≤x≤8；

解：l=





3

81+y′2dx=





3

8

1+

1

x2

dx

=





3

81+x2

x

dx=









1+x2ln

1+1+x2

x

8

3

=1+

1

2

ln

3

2

．

（3）y=







−



2

x

costdt,−



2

≤t≤



2

；

解：l=









−



2



21+y′2dx=









−



2



21+cosxdx

=









−



2



22cos

x

2

dx=42







0



2

cos

x

2

d

x

2

=42sin

x

2







2

0

=4.

8．设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求

（1）星形线所围面积；

（2）绕x轴旋转所得旋转体的体积；

（3）星形线的全长．

解：(1)D=4





0

aydx=4









2

0

asin3td()acos3t

=12a2







0



2

sin4tcos2tdt

=12a2







0



2

()sin4t−sin6tdt=

3

8

a2．

(2)V

x

=2





0

ay2dx=2









2

0

()asin3t2d()acos3t

=6a3







0



2

sin7tcos2tdt

=

32

105

a3

(3)x

t

′=3acos2tsint

y

t

′=3asin2tcost

123

x

t

′2+y

t

′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，

l=4







0



2x

t

′2+y

t

′2dt=4







0



23asin2tcos2tdt

=12a







0



2

1

4

sin22tdt=6a







0



2

sin2tdt=[]3a()cos2t



2

0

=6a．

9．求对数螺线r=eaθ相应θ=0到θ=φ的一段弧长．

解：l=



0

φ

r2+r′2dθ

=





0

φ

e2

aθ+a2e2

aθdθ

=

1+a2

a

()eaφ1．

10．求半径为R，高为h的球冠的表面积．

解：D=2





Rh

R

x1+x′2dy

=2









arcsin

Rh

R



2Rcosθ()Rcosθ′2+()Rsinθ′2dθ

=2









arcsin

Rh

R



2R2cosθdθ

=2R2[]sinθ



2

arcsin

R



h

R

=2Rh．

11．求曲线段y=x3(0x1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．

解：D=2



0

1y1+y′2dx

=2





0

1x31+9x4dx

=



18

·

2

3

()1+9x4

3

2

1

0

=



27

()10101．

12．把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？

解：如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx

124

(19)

设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为

dw=x·60gdx=60gxdx．

于是将水全部抽出所作功为

w=





0

560gxdx

=

60g

2

x2

5

0

=750g(KJ)．

13．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相

齐，计算闸门的一侧所受的水压力．

解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为

y=

x

10

+5．

压力元素为

dF=x·2ydx=2x











x

10

+5dx

所求压力为

F=





0

20

2x











x

10

+5dx

=









5x2

1

15

x3

20

0

=1467(吨)=14388(KN)

14．半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取

离水面，问做功多少？

解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为

(x－R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的

许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分

变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行

程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此

薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A

上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，

需作的功即功元素为

2222

2

d(2)[π()d]π(2)[()]d

π(2)(2)d

wRxgyxxgRxRxRx

gRxRxxx





所求的功为

（20）

（21）

125

2

2

0

2

223

0

2

2234

0

4

π(2)(2)d

π(44)d

41

π

2

34

4

π(KJ).

3

R

R

R

wgRxRxxx

gRxRxxx

g

RxRxx

Rg





















15．设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量

为m的质点，试求细棒对该质点的引力。

解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素

（图22）

22

d

d(d)d

ddcoscosd,

x

kmskmkm

FR

RRR

km

FF

R













则

22

0

2

2

cosd2cosdsin

2

ddsinsind

x

y

kmkmkm

F

RRR

km

FF

R





















则2

2

sind0.

y

km

F

R













故所求引力的大小为

2

sin

2

km

R



，方向自N点指向圆弧的中点。

16．求下列函数在[－a，a]上的平均值：

22(1)()fxax;

解：

2

2222

22

0

0

111π

1

dd.

arcsin

24

22

a

aa

a

a

ax

yaxxaxx

xax

aaa

a













(2)f(x)=x2

解：

2

22

3

0

0

111

1

dd.

23

3

a

aa

a

a

yxxxx

x

aaa











126

17．求正弦交流电i=I

0

sinωt经过半波整流后得到电流

0

π

sin,0

π2π

0,

Itt

i

t



























的平均值和有效值。

解：

π

π2π

00

π

0

0

0

2

1

sind0d

cos

ππππ

II

iIttt

t





























有效值2

0

1

()dTIitt

T



2π

π2π

22

22

π

00

0

π

2

22

0

0

0

1

()d()d

()d()d

2π2π

sind

2π4

Tittitt

ittitt

T

I

Itt

































故有效值为0

2

I

I.

18．已知电压u(t)=3sin2t，求

(1)u(t)在

π

0,

2







上的平均值；

解：

π

2

0

26

()3sin2d.

ππ

uttt

(2)电压的均方根值.

解：均方根公式为

²2

1

()()db

a

fxfxx

ba







故

²ππ

2

22

00

π

2

0

2181cos4

()9sin2dd

ππ2

1893

1

.

sin4

π2

28

2

t

utttt

t

t

















19．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为

C′(x)=x2－14x+111，R′(x)=100－2x．

试求最大利润．

解：设利润函数L(x)．

则L(x)=R(x)－C(x)－50

由于L′(x)=R′(x)－C(x)=(100－2x)－(x2－14x+111)=－x2+12x－11

127

令L′(x)=0得x=1，x=11．

又当x=1时，L″(x)=－2x+12>0．当x=11时L″(x)<0，故当x=11时利润取得最大值．且最

大利润为

L(11)=

11

2

0

(1211)d50xxx

311

0

13341

[611]50111.

333

xxx

20．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x（百台）的边际成本为C′(x)（万元/

百台），边际收入为R′(x)=7－2x（万元/百台）．

(1)求生产量为多少时总利润最大？

(2)在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？

解：(1)当C′(x)=R′(x)时总利润最大．

即2=7－2x，x=5/2(百台)

(2)L′(x)=R′(x)－C′(x)=5－2x．

在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为

ΔL(x)=

7

7

2

2

5

5

2

2

2(52)d51xxxx．

即此时总利润减少1万元.

21．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入

率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．

解：投资20年中总收入的现值为

20

5%5%20

0

1

200

800ed(1e)

5%

400(1e)2528.4()

tyt









万元

纯收入现值为

R=y－800=2528.4－800=1728.4(万元)

收回投资，即为总收入的现值等于投资,故有

5%

200

(1e)800

5%

12005

ln=20ln=4.46().

5%2008005%4

T

T







年

22．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后

攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？

解：设每年以均匀流方式存入x万元，则

5=

10

(10)0.05

0

edtxt

即5=20x(e0.51)

0.5

1

4(e1)

x



≈0.385386万元=3853.86元．