心形线面积

例3求由曲线及

轴所围图形的面积。

解画草图，曲线与的

交点是，取为积分变量，

时，，

时，，

所以，

例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。

解画草图，取为积分变量，

例5求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。

解先求出法线方程，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点

，所以，

例6求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线

所围成的图形的面积A为最小。

解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点

坐标间的函数关系。设为曲线上

任一点，则此点处的切线方程

为,

于是所求面积

=

（2）下面求A的最小值：

令得。又当，时；当时，

。

故当时，A取极小值，也是最小值，从而得到切线方程

参数方程的情形

按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。

由连续曲线，轴及直线、

所围图形的面积为

其中

例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面

积。

解如图，对应与图中摆线的一拱，的变化范围为，参数t的变化

范围为。故所求面积为

=

2.极坐标情形

设曲线的极坐标方程为

连续，由曲线及射线

所围曲边扇形

的面积

为

（记住）

例8求双纽线所围成的平面图形的面积。

解由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间上部分面积

再4倍即可

1.平行截面面积已知的立体体积

设空间立体被垂直于轴的平面所截，截面面积为，且立体在

之间，则体积元素，立体体积

例9一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角，计算这平面

截圆柱体所得立体的体积。

解取这平面与圆柱体的底面的交线

为轴，底面上过圆中心、且垂直于轴的直线为轴。

（见图）则底圆的方程为。

立体中过点且垂直于轴的截面是一个直角三角形。它的两条直角边的

长分别为及，即及。

因而截面积，所求体积为

2.旋转体的体积

（1）由连续曲线

轴所围曲边梯形绕轴旋转一周所

成

旋转体，其体积：取为积分变量，

对应于，体积元素

故：

（2）由连续曲线

轴所围曲边梯形绕轴旋转一周

所

成旋转体，其体积：取为积分

变

量，对应于，体积元素

故：

例10设曲线

所围成的平面图形为D。试求D绕

旋转

而成的旋转体的体积。

解所求为D绕y轴旋转所得旋转体的体积,由公式

例11求摆线,的一拱与围成的图形分别绕

轴、轴旋转一周而成的旋转体体积。

解

（1）绕轴：

（2）绕轴：为如图两部分体积之差

例12设由曲线与直线围成平面图形

求（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形绕轴旋转所成的旋转体体积。

解作图，求交点：解

；

解

（1）面积：

（2）体积：

1.直角坐标的情形

设具有一阶连续导数，求此曲线对应于之间弧长：

取为积分变量，对应于，

弧长元素（弧微分）为

故：

（注：,弧长为正，所以积分中

参数大的做为上限值，小的作为下限

值）以下同。

2.参数方程的情形

设具有一阶连续导数，求曲线对应于

之间的弧长：弧长元素（弧微分）

故：

直角方程是参数方程的特殊情况，即：，,为参数。

3.极坐标的情形

设曲线方程为具有一阶连续导数，求此曲线对

应于之间的弧长：弧长元素（弧微分）,

故：

例13求抛物线由顶点到点的一段弧的长度。

解直接用公式

，

令

例14计算摆线的一拱的长度。

解由公式：

例15求心形线的全长，其中

。

解，由公式：

由对称性：