双纽线面积

平面不规则图形的面积求法

姓名：吴仰玉学号：2指导教师：张德然

摘要本文研究的主要是平面内不规则图形面积的解法，研究的主要方法是几何问题积分化和概率

的几何方法。通过积分和概率求解面积主要有以下几个方面：定积分求解平面面积，二重积分求解平面面

积，曲线积分计算曲线所围成的平面积分和概率的几何方法。通过上面的方法帮助我们解决更多的图形面

积问题.

关键词定积分；二重积分；曲线积分；概率的几何方法；不规则图形；平面面积

在初等数学阶段，我们平常遇到的求解平面图形面积的图形基本上都是规则图形，或由

几个规则图形组成的图形，而通常由面积公式可直接求出，但当我们遇到的是不规则图形时，

我们就无法用公式求出.现在，将高等数学中求解平面不规则图形的方法总结如下：

一．用定积分求解平面面积

（一）．一般情况下，对于f为闭区间,ab上的连续函数（()0fx），由曲线

()yfx，,xaxb以及x轴所围成的平面图形。这样的图形，通常用定积分求之，即

()

b

a

fxdxs（1）

例1：求由

0

sinxdx

与x轴所围成的图形的的面积.

解由题意知，由定积分求面积公式得

0

sin2xdxs



（二）.当遇到由两条连续的曲线

1

()yfx和

2

()yfx及直线xa，

xb

Y

Y=f(x)

0abx

()ab所围的平面图形面积，其面积计算公式

b

a

dxffA

12

（2）

例2求由曲线2yx，

2

4

x

y和直线1y围成的平面区域的面积.

解此区域关于y轴对称，其面积是第一象限部分面积的二倍，在第一象限中，直线1y

与曲线2yx，

2

4

x

y的交点分别是(1,1)与（2，2），此区域的面积

122

2

4

2

2()

43

010

x

Axdxdxdx



（三）.参数方程表示的曲线所围成的面积

若平面曲线c由参数方程表示()xt，()yt，t其中'()t与'()t在

,



连续.则由曲线c及直线xaxb

和x轴所围成的平面图形面积有两种情况.

1若函数()xt在,



严格增加，从而'()t0

，有()a，()b，则函

数()xt存在反函数1()tx，则曲线c：1()yx





，x轴和直线xa，

xb

围成的平面图形的面积11'()()()

bb

aa

Aydxxdxttdt





（3）

Y

2

()yfx

a

1

()yfxb

0X

例3.求椭圆

22

22

1

xy

ab

所围的面积.

解化椭圆为参数方程

cosxat，sinybt，0,2t





由公式(3),求得椭圆的面积为：

2

0

2

2

0

sin(cos)'

sin

Abtatdt

abtdtab















显然，当

abr

时，这就等于圆面积2r

2设曲线c由极坐标(),,rr





给出，其中()r在,



上连续，

2。由曲线c与两条射线，所围成的平面图形，通常也称为扇

形，此扇形计算公式为：

2

1

()

2

rdA









（4）

例4.求双纽线

22cos2ra所围的平面图形的面积.

解因为

20r，所以的取值范围是

,

44















与

35

,

44













。由图形的对称

性及公式（4），得到

4

2

2

4

0

0

1

4cos2sin2/

2

Aaa









2a

（四）．旋转曲面的面积

设平面光滑曲线c的方程为(),,yfxxab







（不妨设()0fx）这段

曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面，则其面积公式为：

2()1'()

b

a

Sfxfxdx



（5）

当平面光滑曲线c由参数方程()xxt，()yyt,t





给出，且()0yt，

那么由弧微分知识推知曲线c绕x轴旋转一周得到旋转曲面的面积为

222()'()'()Sytxtytdt









（6）

例5.计算222xyR在

12

,,xxRR





上的弧段绕x轴旋转所

得球带的面积.

解对曲线22yRX

在区间

12

,xx





上应用公式（5）得

21

2

2

22

22

1

2

1

21

22()

x

x

x

xx

x

x

SRx

Rx

RdxR















特别当

1

xR,

2

xR时，则得球的表面积为:24SR

例6.计算由内摆线

3

cosxat，

3

sinyat绕x轴旋转所得旋转曲面的面

积.

解由曲线关于y轴的对称性及公式（6），得

2

32222

0

2

4

22

0

4sin(3cossin)(3sincos)

12

12sincos

5

Satattattdt

attdta

















二．应用二重积分求解平面面积

(一）.应用二重积分也可以求解平面图形的面积.在直角坐标系中平面区域

S

的面积计

算公式为

Sdxdy（7）

例7.求曲线2

xya

，

5

,(0)

2

xyaa

所围的图形面积.

解两条曲线的交点为

(,2)

2

a

Aa

和

(2,)

2

a

Ba

，故所求的面积为

5

2

2

22

2

15

2ln2

8

ax

a

aa

x

Sdxdyaa







例8.计算积分

23

3

D

x

I

yxy





dxdy，其中D为平面曲线xy=1,xy=3,

2yx,23yx所围成的有界闭区域.

解作变换u=xy,v=

x

y2

,则积分区域D变为'{(,):13,13}Duvuv

这时，

2

1

2

2

(,)

33

2

(,)

y

x

uvy

Jv

y

y

xyx

x

x











，

1

3

J

v



2

23

33

22

'11

33

(1)

2

ln2

(1)13

DD

D

x

Idxdydxdy

y

yxy

xy

x

dudvdudv

vvuv















（二）.当积分区域是圆域或圆域的一部分或者被积函数的形式为22()fxy时常用二

重积分的极坐标变换，变换公式为cos,sinxryr，它将r平面上的区域

'R

变换为

xy平面上的区域R，面积

'RR

Sdxdyrdrd



（8）

例9.计算I=

D

yxde)(22,其中D为圆域：222xyR.

解利用极坐标变换，由公式（8）得：

22

2

00

(1)

R

rRIdredre





三.利用曲线积分计算曲线围成的平面面积

由逐段光滑的简单封闭曲线C所围成的面积

1

2

C

Sxdyydx

例10.求椭圆cos,sin(02)xatybtt的面积.

解面积为

1

2

C

Sxdyydx=

2

22

0

1

(cossin)

2

abttdtab





四．应用概率的几何方法求平面图形的面积

在概率论中若事件A为



的某个子区域，其度量大小可用

A

S，S



表示，则其事

件A的概率为()A

S

PA

S



，而概率()PA我们可以用蒲丰投针的方法估计出，而S



我们可

以取特殊形状求出，进而可求出

A

S



如向图中投针M次，假设落在不规则图形中n次，则事件A的概率P(A)

近似为

M

n

,所以，不规则图像的面积S

A

近似为

M

n

S



综上所述，我们能更进一步理解黎曼积分的实质和内涵，以及概率在求图形面积方面

的应用。为了计算这类区域的面积，我们还可以借助实变函数中的“度量”来解决这类区域

的面积.

参考文献：

[1].裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.

[2].华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3].athicalanalysis.李荣东译[M].北京:人民教育出版社,1958.

[4].茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.

[5].菲赫金哥尔茨.微积分学教程.叶彦谦等译[M].北京:高等教育出版社,1959.

PlaneMethodForFindingTheAreaofIrregularFigures

Name:WuYangyuStudentNumber:2Advisor:ZhangDe-ran

AbstractThispaperismainlytheplaneareaofirregulargraphicssolution,themainrearchmethod

hthepointsandtheprobabilityof

solvinganareamainlyinthefollowingareas:Solvingthedefiniteintegralofsurfacearea,surfaceareaofthe

doubleintegralsolution,htheabove

methodstohelpussolvetheproblemmoregraphicsarea

Keywordsdefiniteintegral;doubleintegral;curveintegral;probabilitygeometricmethod;shouldnot

havethegraphics;surfacearea.

