tan2x

解正切不等式一般有以下两种方法：

图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，

找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角

函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界

角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函

数的定义域)，再用不等式正确表示区域.

例1作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区

间.

分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的

图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图

像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y=｜tanx｜的

图像.

所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+2



)(k∈Z);

单调减区间为(kπ-2



,kπ］(k∈Z).

说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小

正周期为π.一般地，y=A｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与

y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为





.

例2求函数y=lg(tanx-3)+3cos2x的定义域.

解：欲使函数有意义，必须

由此不等式组作图

∴函数的定义域为(kπ+3



,kπ+2



).

评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线

法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出

符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的

边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条

件的区域.要特别注意函数的定义域.

例3求函数y=tan(2x-3



)的单调区间.

解：y=tanx,x∈(-2



+kπ,2



+kπ)(k∈Z)是增函数.

∴-2



+kπ＜2x-3



＜2



+kπ,(k∈Z).

即-12



+2

k

＜x＜12

5

+2

k

，(k∈Z)

函数y=tan(2x-3



)的单调递增区间是(-12



+2

k

,12

5

+

2

k

).(k∈Z)

例4求函数f(x)=tan(2x+3



)的周期.

解：因为tan(2x+3



+π)=tan(2x+3



)

即tan［2(x+2



)+3



］=tan(2x+3



)

∴tan(2x+3



)的周期是2



.

例5求函数y=3tan(2x+3



)的对称中心的坐标.

分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即

(2

k

,0)(k∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx经过变

换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为

图像与x轴交点.

解：由2x+3



=2

k

,(k∈Z)得

x=4

k

-6



(k∈Z)

∴对称中心坐标为(4

k

-6



,0)(k∈Z)

注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质可

与函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研

究.

【难题巧解点拔】

例判断函数f(x)=tan(x-4



)+tan(x+4



)的奇偶性，并求此

函数的周期及单调区间.

分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.

②是否对任意x有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立；关于周期和

单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.

解：此函数的定义域为{x｜x∈R且x≠kπ+4



,k∈Z}它是关

于原点对称.

又f(-x)=tan(-x+4



)+tan(-x-4



)

=-tan(x-4



)-tan(x+4



)=-f(x)

故此函数是奇函数.

y=tan(x-4



)+tan(x+4



)

=tan［(x-4



)+(x+4



)］［(1-tan(x-4



)tan(x+4



)]

∵sin(2



-a)=cosa

cos(2



-a)=sina

∴tan(2



-a)=cota

cot(2



-a)=tana

故tan［2



-(x+4



)］=cot(x+4



)

即-tan(x-4



)=cot(x+4



)

∴y=tan2x［1+cot(x+4



)tan(x+4



)］=2tan2x

故此函数周期为2



当kπ-2



＜2x＜kπ+2



2

k

-4



＜x＜2

k

+4



(k∈Z)

即x∈(2

k

-4



,2

k

+4



)时，原函数是增函数.

评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个

三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.

y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的周期为T=





.

例2已知

)]

6

cos(9

2

11

lg[



x

≤1,求函数y=cot2x-2cotx+5的

值域.

分析：从已知条件的不等式中解出cotx的范围，然后在此

条件下求被求函数的值域.

解：由已知条件，可得0≤lg［2

11

-9cos(x+6



)］≤1.

得-2

1

≤cos(x+6



)≤2

1

∴kπ+3



≤x+6



≤kπ+3

2

,（k∈Z）.

∴kπ+6



≤x≤kπ+2



,（k∈Z）.

∴0≤cotx≤3y=cot2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4

∴当x=kπ+4



,（k∈Z）时，y取最小值4.

当x=kπ+2



,（k∈Z）时，y取最大值5.

从而函数y=cot2x-2cotx+5的值域是［4,5］.

【课本难题解答】

课本第72页第5题：

(1){x｜-4



+kπ≤x＜2



+kπ,k∈Z}

(2){x｜3



+kπ≤x＜2



+kπ,k∈Z}

第6题：(1)D(2)C(3)C(4)B

【命题趋势分析】

从历届高考试题可以看到，本节内容主要考查函数的定义

域，周期性，图像及单调性等知识，一般以选择题，填空题题型

出现，属基本题.

【典型热点考题】

例1满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是()

A.(0，4



)B.［0，4



］C.［4



，2



］D.(4



，

2



)

分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同

一单调区间内.

解：由选择项，可以考虑α∈(0，2



)的情况.

∵tanα≥tan(2



-α),且α,2



-α∈(0,2



)

∴α≥2



-α,∴4



≤α＜2



.

故选C.

例2函数y=x

x

2tan1

2tan1

2

2





的最小正周期是()

A.4



B.2



C.πD.2π

解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B正确.

∴应选B.

解法2：y=x

x

2tan1

2tan1

2

2





=cos4x

∴T=4

2

=2



∴应选B.

例3函数y=

x

2

1

log2

+xtan的定义域是.

由①②得0＜x≤4⑤

∴0＜x＜2



或π≤x≤4.

∴应填(0，2



)∪[π，4]

例4如果α、β∈(2



,π),且tanα＜cotβ,那么必有

()

A.α＜βB.β＜αC.α+β＜2

3

D.α+

β＞2

3

解：∵tanα＜cotβ＜0，∴tanαtanβ＞1.

有tan(α+β)=





tantan1

tantan





＞0

有α+β∈(π，2

3

)∴α+β＜2

3

.

∴应选C.

说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比

如取α=β=3

2

,可排除A、B、D.