升幂公式

第四节辅助角公式降幂公式的熟悉应用

要求：

能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括

导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

一、将二倍角公式变形可得到的公式

1．降幂公式：sin2α＝___________，cos2α＝___________，

sinαcosα＝________.

2．升幂公式：1＋cosα＝________，1－cosα＝________.

3．半角公式：sin

α

2

＝±

1－cosα

2

，cos

α

2

＝±

1＋cosα

2

，

tan

α

2

＝±

1－cosα

1＋cosα

＝

1－cosα

sinα

＝

sinα

1＋cosα

.

注意：等号后的正、负号由

α

2

所在的象限决定．

二、辅助角公式

asinx＋bcosx＝a2＋b2·sin()x＋φ

，

其中sinφ＝

b

a2＋b2

，cosφ＝

a

a2＋b2

，即tanφ＝

b

a

.

例一利用辅助角公式将三角式化简

【例1】(1)f(α)＝2cos2＋sinα的最大值是_____．

(2)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为，则ω

的值是____________．

思路点拨：先降幂，再引入辅助角(通常是特殊角)将表达式化为两角和与差的三角函数．

点评：(1)化简时要有整体意识，合理变形，为公式的应用创造条件，使结果的三角函数名称、角的个数尽

可能的少．

(2)对于形如asinx＋bcosx＋c或asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x＋d的三角函数式的化简通常都可通过引入辅

助角配凑成两角和(差)的三角函数，达到化简的目的．

1．化简下列各式：

(1)1－2sin2()x＋

π

8

＋2sin()x＋

π

8

cos()x＋

π

8

；

(2)2sin2()π

4

＋x－3cos2x；

(3)cos4x－4cos2x＋3.

2

3

a

2

3

考点二非特殊角三角函数求值

【例2】不用计算器求值sin50°(1＋tan10°)．

思路点拨：将切化为弦，再设法应用辅助角公式

2．

3－sin70°

2－cos210°

＝()

A.

1

2

B.

2

2

C．2D.

3

2

．

考点三逆用三角公式进行化简（升幂公式、降幂公式的应用）

【例3】化简下列各式：

(1)

1

2

－

1

2

1

2

＋

1

2

cos2α，α∈()3π

2

，2π；

(2)

cos2α－sin2α

2tan()π

4

－αcos2()π

4

－α

.

思路点拨：(1)若注意到化简式是开平方根和2α是α的二倍，α是

α

2

的二倍，以及其范围，不难找到

解题的突破口；(2)由于分子是一个平方差，若注意到这一特征，不难得到解题的切入点．

点评：(1)在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角

的倍数关系，同时还要注意2α，

π

4

＋α，

π

4

－α三个角的内在联系的作用，cos2α＝sin()π

2

±2α＝2sin()π

4

±α

cos()π

4

±α是常用的三角变换．

(2)化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角

是常用的化简技巧．

(3)注意公式的变形，如cosα＝

sin2α

2sinα

，cos2α＝

1＋cos2α

2

，sin2α＝

1－cos2α

2

.

3

练习3．已知sin()π

4

＋xsin()π

4

－x＝

1

6

，x∈()0，

π

4

，则sin4x＝_________.

考点四有关sinx，cosx的齐次式问题

【例4】已知－

π

2

1

5

.

(1)求sinx－cosx的值；(2)求

sin2x＋2sin2x

1－tanx

的值．

思路点拨：正余弦三兄妹“sinx±cosx，sinxcosx”的内在联系——“知一可求二”．

4．已知

sin2α＋2sin2α

1＋tanα

＝k()π

4

＜α＜

π

2

，用k表示sinα－cosα的值等于________．

2.(2012·广东卷)已知函数f(x)＝2cos()ωx＋

π

6

(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.

(1)求ω的值；

(2)设α，β∈[]0，

π

2

，f()5α＋

5π

3

＝－

6

5

，f()5β－

5π

6

＝

16

17

，求cos(α＋β)的值．

1．角的变换是三角函数变换的核心，基本的技巧有：

(1)巧变角已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变

换．如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·

α＋β

2

，

α＋β

2

＝()α－

β

2

－()α

2

－β等．

(2)常值变换：主要指“1”的变换，如：

1＝sin2x＋cos2x＝tanx·cotx＝tan

π

4

＝sin

π

2

＝„.

(3)正余弦三兄妹“sinx±cosx，sinxcosx”的内在联系——“知一求二”．

2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin()x＋φ

(其中角φ所在的象限由a，b的符号确定，角φ的

值由tanφ＝

b

a

确定)在求最值、化简时起着重要作用．

3．由两角和、差的三角函数公式及倍角公式进行适当的变形还可得到以下一些重要结论：

(1)sinα±cosα＝2sin()α±

π

4

；

(2)(sinα±cosα)2＝1±sin2α；

(3)

1±tanα

1∓tanα

＝tan()π

4

±α；

运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，

如角的关系、次数关系、三角函数名等．抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，

而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数街所具有的相似性的结构特

征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．(3)对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如：

cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cosα，

tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝tanα＋tanβ，

tan(α＋β)tanαtanβ＝tan(α＋β)－tanα－tanβ等

(4)万能公式：sinα＝

2tan

α

2

1＋tan2

α

2

，cosα＝

1－tan2

α

2

1＋tan2

α

2

，tanα＝

2tan

α

2

1－tan2

α

2

.(属知识拓展)

万能公式的特点和作用：可将sinα，cosα，tanα统一用tan

α

2

的有理式表示出来．万能公式其实可认

为是二倍角公式的应用，如：

sinα＝2sin

α

2

cos

α

2

＝

2sin

α

2

cos

α

2

sin2

α

2

＋cos2

α

2

＝

2tan

α

2

1＋tan2

α

2

.