arcsin0

研卷知古今；藏书教子孙。

y=x

y=arcsinx

y=sinx

1



2



2

1

y

x

o

6.4反三角函数（1）——反正弦函数

【教学目标】

1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx，x∈[-

2



，

2



]有反函数；理解

反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-

2



，

2



].

2．知道反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像.

3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1].

4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角.

5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题.

【教学重点与难点】

教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.

教学难点：反正弦函数1,1,arcsinxxy的产生和从本质上处理正弦函数

Rxxysin的反函数问题.

【教学过程】

一、情景引入

1．复习

我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，

在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做

y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求

其自变量与因变量是一一对应的.

2．思考

那么正弦函数是否存在反函数呢？

[说明]因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是

多对一的.故而不存在反函数.

3．讨论

正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得

xysin

在该区间上存在反函数.

因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦

值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得xysin存在反函数呢？

这个区间的选择依据两个原则：

（1）xysin在所取区间上存在反函数；（2）能取到xysin的一切函数值1,1.

可以选取闭区间















2

,

2



，使得xysin在

该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习

的反正弦函数.

研卷知古今；藏书教子孙。

二、学习新课

1．概念辨析

（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx，x∈[-

2



，

2



]的反函数叫做反正弦函数，记作

y=arcsinx，x∈[-1，1].

（2）反正弦函数的性质：

①图像；②定义域[-1，1]；

③值域[-

2



，

2



]；④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]；⑤

单调性：增函数。

[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线

xy

对称，函数y=sinx，x∈[-

2



，

2



]与

函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线

xy

对称.

2．例题分析

例1．求下列反正弦函数的值：

（1）arcsin

2

1

；（2）arcsin0；（3）arcsin（-

2

3

）

解：（1）因为sin

6



=

2

1

，且

6



∈[-

2



，

2



]，所以arcsin

2

1

=

6



.

（2）因为sin0=0，且0∈[-

2



，

2



]，所以arcsin0=0.

（3）因为sin（-

3



）=-

2

3

，且-

3



∈[-

2



，

2



]，所以arcsin（-

2

3

）=-

3



.

例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：

（1）sinx=

3

2

，x∈[-

2



，

2



]；

（2）sinx=-

5

1

，x∈[-

2



，

2



]；

研卷知古今；藏书教子孙。

（3）sinx=-

3

3

，x∈[-π，0].

解：（1）因为x∈[-

2



，

2



]，由定义，可知x=arcsin

3

2

；

（2）因为x∈[-

2



，

2



]，由定义，可知x=arcsin（-

5

1

）=-arcsin

5

1

；

（3）在区间[-

2



，0]上，由定义，可知x=arcsin（-

3

3

）=-arcsin

3

3

；

在区间[-π，-

2



]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin

3

3

，满足sinx=-

3

3

.因此

x=arcsin

3

3

或x=-π+arcsin

3

3

.

例3．化简下列各式：

（1）arcsin（sin

7



）；（2）arcsin（sin

5

4

）；*（3）arcsin（sin20070）

解：（1）因为

7



∈[-

2



，

2



]，设sin

7



=α，所以arcsinα=

7



，即arcsin（sin

7



）=

7



.

（2）因为

5

4

[-

2



，

2



]，而

5



∈[-

2



，

2



]，且sin

5



=sin

5

4

，设sin

5



=sin

5

4

=α，

所以arcsin（sin

5

4

）=arcsin（sin

5



）=

arcsinα=

5



.

（3）因为sin20070=sin（5×3600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270

所以arcsin（sin20070）=arcsin（-sin270）=-arcsin(sin270)=-270.

例4．求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.

解：设y=2arcsin2x，则

2

y

=arcsin2x，因为2x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-

2



，

2



]，所以x

∈[-

2

1

，

2

1

]，y∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin

2

y

，x=

2

1

sin

2

y

，将x，y

互换，得反函数f-1（x）=

2

1

sin

2

x

，定义域是[-л，л]，值域是[-

2

1

，

2

1

].

研卷知古今；藏书教子孙。

3．问题拓展

例1．证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]

证明：∵x∈[-1，1]，∴-x∈[-1，1]

∴sin[arcsin（-x）]=-x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x

又因为arcsin（-x）∈[-

2



，

2



]，-arcsinx∈[-

2



，

2



]，且正弦函数在[-

2



，

2



]上单

调递增，所以arcsin（-x）=-arcsinx，

x∈[-1，1].

[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师

应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.

例2．设x∈[

2



，

2

3

]，sinx=

3

1

，用反正弦函数值表示x.

解：因为x∈[

2



，

2

3

]，所以（π-x）∈[-

2



，

2



]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π-x）

=

3

1

，于是π-x=arcsin

3

1

，x=π-arcsin

3

1

.

[说明]对于用反正弦函数值表示区间[-

2



，

2



]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际

问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.

以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.

三、巩固练习

判断下列各式是否成立?简述理由.

（1）arcsin

2

3

=

3



；（2）arcsin

3



=

2

3

；（3）arcsin1=2kл+

2



，k∈Z；（4）arcsin

（-

3



）=-arcsin

3



；（5）sin（arcsin2）=2；（6）arcsin

6



=

2

1

.

解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；

（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-

2



，

2



]；

（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.

四、课堂小结

教师引导学生总结：

研卷知古今；藏书教子孙。

（1）反正弦函数的定义；（2）反正弦函数的性质；（3）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x

的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.

五、作业：练习册