极值点一定是驻点吗

第4章微分中值定理和导数的应用

【第4章导语】

我们学习了导数与微分的概念，并掌握了初等函数与某些特殊函数的求导运算．本章主

要介绍导数在研究函数性态和解决有关实际问题中的应用，给出利用导数解决一些具体问题

的一般方法．由于导数只是反映了函数在一点的性质，为了将其与函数在某个范围上的性态

联系起来，就需要寻找它们之间的一座桥梁，微分中值定理就承担了桥梁的作用，它是导数

应用的理论基础．

§4.1极值与极值点

【导语】

【正文】

一、极值与极值点概念

定义1设函数

()fx

在

0

xx=的某个邻域

0

(,)Uxδ中有定义．

如果对任意

0

(,)xUxδ∈，都有()()

0

fxfx≥

成立，则称

0

x是函数

()fx

的一个极小值点，

0

()fx称为函数

()fx

的一个极小值；

如果对任意

0

(,)xUxδ∈，都有()()

0

fxfx≤

成立，则称

0

x是函数

()fx

的一个极大值点，

0

()fx称为函数

()fx

的一个极大值．

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

函数定义区间的端点不会是函数的极值点．

函数的极值是一个局部性的概念，它的大小只是与极值点

0

x附近其他点的函数值作比

较，函数的极大值不一定大于其极小值．

如图，

1

()fx和

3

()fx是函数

()yfx=

的极大值，

2

()fx

和

4

()fx是函数

()yfx=

的极小值，而

1

()fx<

4

()fx．

二、费马（Fermat）定理

在图中，假设连续曲线

()yfx=

除了端点外，处处都有

切线．从图中可以看出在局部最高点

11

(,())xfx和

33

(,())xfx，

以及在局部最低点

22

(,())xfx和

44

(,())xfx，曲线的切线都是水平的．

定理1如果函数)(xf在

0

x处可导，且在

0

x处取得极值，那么函数)

(xf在

0

x处的导

数为零，即0)(

0

=

′

xf．

证不妨假设

0

()fx是极大值．

因为函数

()fx

在点

0

x处可导，所以

0

()fx

−

′

与

+0

()fx

′

均存在，且

00+0

()()()fxfxfx

−

′′′

==．

当

0

xx−→时，因为

0

()()0fxfx−≤，

0

0xx−<，

所以根据极限的局部保号性，可知

0

0

0

0

()()

()lim0

xx

fxfx

fx

xx−

−

→

−

′

=

−

≥

．

当

0

xx+→时，因为

0

()()0fxfx−≤，

0

0xx−>，

所以根据极限的局部保号性，可知

0

0

0

0

()()

()lim0

xx

fxfx

fx

xx+

+

→

−

′

=

−

≤

．

综上可知

0

()0fx

′

=．

导数等于零的点称为函数的驻点或临界点．

费马定理说明，函数的可导极值点一定是驻点．驻点是否一定是极值点呢？

函数3()fxx=在

0x=

处的导数为零，但

0x=

却不是它的极值点！

导数不存在的点是否可以是极值点？函数

()||fxx=

在

0x=

处的导数不存在，但

0x=

却是它的极小值点！

函数)(xf的极值点在

()0fx

′

=

或

()fx

′

不存在的点中．

例1求函数32()215241fxxxx=−++的驻点。

解由32()215241fxxxx=−++，得

2()630246(1)(4)fxxxxx

′

=−+=−−。

令

()0fx

′

=

得驻点

1x=

和

4x=

。

例2求函数2

1

()sincos

2

fxxxxx=−−

的驻点。

解由2

1

()sincos

2

fxxxxx=−−

，得

()coscossin(sin1)fxxxxxxxx

′

=−+−=−

。

令

()0fx

′

=

得驻点

0x=

和

π

2π

2

xn=+

（

n

是整数）。

例3设函数

()fx

在

[,]ab

内可导．若

()()fafb

′′

≠

，则对于任意的介于

()fa

′

与

()fb

′

之

间的µ，总存在

(,)abξ∈

，使得

()fξµ′

=

．

分析

()()0[(x)]0fffx

ξ

ξµξµµ′′′

=⇔−=⇔−=

。

证令

()()Fxfxxµ=−

，则

()()0FaFb

′′

<

．不妨设

()0Fa

′

>

，

()0Fb

′

<

．

由于

()0Fa

′

>

，所以存在

1

(,)xab∈

，使得

1

()()FxFa>

；

又因为

()0Fb

′

<

，所以存在

21

(,)xxb∈

，使得

2

()()

FxFb>

．

因为

()[,]FxCab∈

，所以

()Fx

在区间

[,]ab

取得最大值

()Fξ，且最大值点ξ在开区间

(,)ab

内取到．

根据Fermat定理可知

()()0Ffξξµ′′

=−=

，即

()fξµ′

=

．

【本讲总结与下讲预告】