一元三次方程韦达定理

一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二

次方程的求根公式的配方法只能将形如

023dcxbxax

的标准型一元三次

方程形式化为03qpxx的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方

程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求

根公式的形式。归纳出来的形如03qpxx的一元三次方程的求根公式的形

式应该为33BAx

型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公

式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用

qp,

表示

BA,

。

方法如下：

（1）将33BAx

两边同时立方可以得到

333

33)(BAABBAx

（2）

333

33)(BAABBAx

（3）由于33BAx

，所以（2）可化为xABBAx3

33)(，移项可得

（4）0)(33

3BAxABx和一元三次方程的特殊型03qpxx作比较，

可知

（5）qBApAB)(,33化简得

（6）

3

3

,















p

ABqBA

（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问

题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如

02cbyay的一元二次方程两个根的韦达定理，即

（8）















a

b

yy

21

，

a

c

yy

21

（9）对比（6）和（8），可令

a

cp

a

b

qyByA















3

213

,,,

（10）由于型为02cbyay的一元二次方程求根公式为

a

acbb

y

2

42

1





，

a

acbb

y

2

42

2





，可化为

（11）

a

c

a

b

a

b

y















2

122

a

c

a

b

a

b

y















2

222

将（9）中的

a

cp

a

b

qyByA















3

213

,,,

代入（11）可得

（12）

32

322





























pqq

A

，

32

322





























pqq

B

（13）将

BA,

代入33BAx

得

（14）

3

1

32

3

1

32

322322

























































































pqqpqq

x

本式只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个

根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出

了。