三点共线向量公式

平面向量中三点共线定理的应用

知识梳理

(一）、对平面内任意的两个向量

babba









//),0(,

的充要条件是：存在唯一的实数

，使ba





由该定理可以得到平面内三点共线定理：

（二）、三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面

内任意一点的O,存在唯一的一对实数x,y使得:

OPxOAyOB

且

OPxOAyOB。

特别地有:当点P在线段AB上时，0,0xy

当点P在线段AB之外时，0xy

典例剖析

例1、已知

P

是

ABC

的边BC上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,,则

yx

41

的最小值是

分析：点P落在ABC的边BC上



B,P,C三点共线

APxAByAC1xy 且x>0,y>0

14141444

()1()()145

yxyx

xy

xyxyxyxyxy



x>0,y>0

4

0,0

yx

xy

由基本不等式可知：

44

24

yxyx

xyxy



，取等号

时

4yx

xy

224yx2yx0,0xy2yx1xy

12

,

33

xy,符

合

所以

yx

41

的最小值为9

点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一

起，较综合考查了学生基本功.

例2、在△ABC中，

1

3

ANNC，点P是BC上的一点，若

2

11

APmABAC，则

实数m的值为（）

A．

9

11

B.

5

11

C。

3

11

D。

2

11

分析：,,BPN三点共线,又

228

4

111111

APmABACmABANmABAN

8

1

11

m

3

11

m

，故选C

例3、在△ABC中，点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的

mAM，AC＝nAN，则m＋n的两点M、N，若AB＝

值为．

：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可

知：

1

()

2

AOABAC

mABAM＝，ACnAN

1

()

2

AOmAMnAN

22

mn

AOAMAN

又,,MON三点共线，

由平面内三点共线定理可得:1

22

mn

2mn

变式、直线l过ABCD的两条对角线AC与BD的交点O,与AD边交于点N，与AB

的延长线交于点M。又知AB＝mAM，AD＝

n

AN

，则m＋n=

图4

分析:因为点O两条对角线AC与BD的交点,所以点O为AC的中点

1

()

2

AOABADAB＝mAM,AD＝nAN

1

()

222

mn

AOmAMnANAMAN又,,MON三点共线，



由平面内三点共线的向量式定理可得：1

22

mn

2mn

例4、点

G是△OAB的重心,P、Q分别是边OA、OB上的动点,且P、G、Q三点共线．设

OAxOP，OByOQ,证明：

yx

11

是定值；

证明:因为G是OAB的重心，

分析：

211

()()

323

OGOAOBOAOB

1

OPxOAOAOP

x



1

OQyOBOBOQ

y



111111

()()

3333

OGOAOBOPOQOGOPOQ

xyxy



又,,PGQ三点共线，

11

1

33xy



11

3

xy



11

xy

为定值3

例5、如图所示,在平行四边形ABCD中，

1

3

AEAB,

1

4

AFAD,CE与BF相交

于G点，记

ABa

，

ADb

，则

AG

_______

分析:本题是以平面几何为背景,为载体,求向量的问题，所以我们很容易联

想到点F、G、B以及E，G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

解:,,EGC三点共线,



由平面内三点共线定理可得:存在唯一的一对实数x使

得

(1)AGxAExAC,

11

33

AEABa,ACab

12

(1)()(1)(1)

33

x

AGxaxabaxb…………………①

又,,FGB三点共线,



由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使

得

(1)AGABAF

11

44

AFADb,，

1

(1)

4

AGab……………………………②

由①②两式可得：

2

1

3

1

1

4

x

x

























6

7

3

7

x























31

77

AGab

点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G，C三点在一条直线上）

变式2、在三角形ABC中，AM﹕AB=1﹕3，AN﹕AC=1﹕4,BN

与CM相交于点P，且aAB



，bAC



，试用a



、b



表示AP

解：,,NPB三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数

P

AB

C

M

N

x,y使得,1APxAByANxy，

AN﹕AC=1﹕4,

bACAN



4

1

4

1



1

444

yyx

APxABACxabxab



……①

又

,,CPM

三点共线,



由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,

使得

,1APAMAC∵AM﹕AB=1﹕3∴aABAM



3

1

3

1

，,

1

33

APabab







……………………………②

由①②两式可得：

1

3

1

4

x

x



























3

11

2

11

x























8

1,

11

xyy

32

1111

APab

练习：

1。

OAB

,点P在边AB上，3ABAP，设,OAaOBb,

则OP（）

12

.

33

Aab

21

.

33

Bab

.C

12

33

ab

.D

21

33

ab

2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1），B（—1，3），若点C(x，y)满

足OC=αOA+βOB，其中α,β∈R且α+β=1，则x，y所满足的关系式为（）

A．3x+2y-11=0B．（x—1）2+(y-2)2=5C．2x—y=0D．x+2y-5=0

P

B

A

O

b

a

3.已知

P

是

ABC

的边BC上的任一点，且满足RyxACyABxAP.,,则

yx

41



的最小值是

4、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点,E是BC边的中点，连接DE交AC

于点F。已知,ABaADb,则OF（）

A．

11

36

ab

B．

1

()

4

ab

C．

1

()

6

ab

D．

11

64

ab

5、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形

ABCD

中

,E

、

F

分别

是

BC

、

CD

的中点，

DE

交

AF

于

H

，记

AB

，

→

、

BC

，

→

分别为

a

、

b

，则

错误!

＝

(

）

A．错误!a－错误!bB．错误!a＋错误!bC．－错误!a＋错误!bD．－

错误!a－错误!b

6、（2008年广东卷）在平行四边形

ABCD

中，

AC

与BD交于点

OE，

是线段

OD

的中点，

AE的延长线与

CD

交于点F．若ACa，BDb，则AF（）

A．

11

42

ab

B．

21

33

ab

C．

11

24

ab

D．

12

33

ab

7、在平行四边形

ABCD

中，

11

,

34

AEABAFAD

，

CE与BF

相交于点

G

，记

ABa

，

ADb

，则

AG

＝

(

）

A．

21

77

ab

B．

23

77

ab

C．

31

77

ab

D．

42

77

ab

8、在△ABO中，已知

11

,,

42

OCOAODOB,且AD与BC相交于点M，设,,OAaOBb

则_________OM(结果用ab与表示）