通径公式

高中数学(理科)常用公式

一、常用逻辑用语

1．四种命题：（1）原命题：若p则q（2）逆命题：若q则p

（3）否命题：若

p

则

q

（4）逆否命题：若

q

则

p

（互为逆否关系的两个命题同真假：原命题与逆否命题，逆命题与否

命题同真假）

2．假如pq，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件

注意：（1）小范畴



大范畴，大范畴小范畴，

（2）“

p

的充分不必要条件是

q

”



“

q

是

p

的充分不必要条件”

3．复合命题pq、pq、p的真假性（p即命题的否定）：

（1）当p和q为一真一假时，pq为假，pq为真；（2）p和p

的真假性相反

4．全称命题与特称命题.若p：,()xMqx成立，则p：

00

,()xMqx

成立

二、圆锥曲线

1．椭圆

定义

动点M到两定点

12

,FF的距离之和为2a（

12

2FFa），

即：

12

2MFMFa，（

ca

）

图形

标准方程

22

22

1

xy

ab



(0)ab

22

22

1

yx

ab



(0)ab

范畴

axa，bybbxb，aya

长轴长2a

短轴长2b

焦点、焦距

(,0)c、2c

(0,)c、2c

顶点

(,0)a，(0,)b(,0)b，(0,)a

离心率

c

e

a

（01e）

准线

2a

x

c



2a

y

c



焦半径

10

MFaex，

20

MFaex

10

MFaey，

20

MFaey

12

MFF

面积公式12

2tan

2MFF

Sb





（其中

12

FMF）

通径的长

22b

a

2．双曲线

定义

动点M到两定点

12

,FF的距离之差的绝对值为2a（

12

2FFa）

即：

12

2FFMMa（

ca

）

图形

标准方程

22

22

1

xy

ab



22

22

1

yx

ab



范畴

xa或xa，y

RxR，ya或ya

实轴长2a

虚轴长2b

焦点、焦距

(,0)c、2c

(0,)c、2c

顶点

(,0)a(0,)a

渐近线

b

yx

a



a

yx

b



离心率

c

e

a

（1e）

准线

2a

x

c



2a

y

c



焦半径

10

FeMxa，

20

FeMxa

10

FeMya，

20

FeMya

12

MFF

面积公式

12

2

tan

2

MFF

b

S



（其中

12

FMF）

通径的长

22b

a

小隐秘

焦点到渐近线的距离为b；双曲线上的点到两渐近线的距离之积为

2ab

c







注意：直线与圆锥曲线相交的弦长公式：（和韦达定理结合使用）

222

121212

11()4ABkxxkxxxx快速公式：21ABk





A

2

121212

22

11

11()4AByyyyyy

kk

快速公式：

2

1

1AB

k





A

（其中

A

是指消去

y

或x后得到一元二次方程中的二次项系数）

3．抛物线

定义

动点P到定点F的距离等于到定直线l的距离

即：PFPP



，（F到l的距离为p）

标准

方程

22ypx(0)p22ypx(0)p22xpy(0)p22xpy(0)p

图形

范畴0x0x

0y0y

对称轴

x

轴

y轴

焦点

准线

(,0)

2

p

(,0)

2

p

(0,)

2

p

(0,)

2

p



准线

方程2

p

x

2

p

x

2

p

y

2

p

y

离心率1e

焦半径

02

p

PFx

02

p

PFx

02

p

PFy

02

p

PFy

焦点弦

公式12

()ABpxx

12

()ABpxx

12

()ABpyy

12

()ABpyy

焦点弦

的隐秘

三个圆：以AB为直径的圆与准线相切；以AF、BF为直径的圆都与坐标轴相切.

角平分线：设M为准线与坐标轴的交点，则

x

轴（或y轴）是AMB的角平分线

1cos

p

AF







，

1cos

p

BF







，

2

2

sin

p

AB



，

2

2sinAOB

p

S



，

112

AFBFp



（其中



为直线AB的倾斜角）

三、导数及其应用

1.概念：)(xf在

0

x处的导数（或变化率或微商）

0

00

0

00

()()

()limlim

xx

xx

fxxfx

y

fxy

xx













.

瞬时速度()vst



.瞬时加速度()avt



.（注意那个物理意义）

2.函数)(xfy在点

0

x处的导数是曲线)(xfy在))(,(

00

xfxP处的切线的

斜率)(

0

xf

，相应的切线方程是

000

()()()yfxfxxx



.

3.几种常见函数的导数

（1）0



C（C为常数）.（2）1()nnxnx

.（3）xxcos)(sin

.（4）xxsin)(cos

.

（5）

x

x

1

)(ln

；

1

(log)

lna

x

xa



.（6）xxee



)(；aaaxxln)(

.

最好记住这三条常用的公式：

2

11

()

xx





1

()

2

x

x





(ln)1lnxxx





4.导数的运算法则：（1）[()]()CfxCfx



（2）

[()()]()()fxgxfxgx





（3）[()()]()()()()fxgxfxgxfxgx



（4）

2

()()()()()

[]

()[()]

fxfxgxfxgx

gxgx









5.复合函数的求导法则：若)(g),(xuufy，则()()

x

yfugx







6.函数的单调性：设函数)(xfy在某个区间(,)ab可导，若()0fx



，则

)(xfy在(,)ab上单调递增；若()0fx



，则)(xfy在(,)ab上单调递减．

逆命题：若()fx在(,)ab上是增函数，则'()0fx；在(,)ab上是减函数，

则'()0fx.

7.求函数)(xfy极值的方法与步骤：

（1）求导数()fx

；（2）求方程()0fx



的根；

（3）画出x、()fx

、()fx的分布表格，并判定极大值、极小值

四、推理与证明

1.推理

（1）合情推理：包含归纳推理（由专门到一样的推理）和类比推理（由

专门到专门的推理）.

（2）演绎推理：三段论（大前提、小前提和结论），由一样到专门的

推理.

（3）合情推理得到的结论不一定正确，需要证明.

演绎推理得到的结论一定正确（大前提和小前提正确的情形下）.

2.证明

（1）直截了当证明：综合法（条件



结论）与分析法（结论



条件（恒

成立））

（2）间接证明：反证法（反设



矛盾



推翻反设）

（3）数学归纳法：

①证明当n取第一个值

0

n（

0

n*N）时结论成立.

②假设当nk（k*N，且

0

kn）时结论成立，证明当1nk时结论

也成立.

由①②可知，对任意

0

nn，且n*N时，结论都成立.

五、计数原理

1.排列数：

!

(1)(2)(1)

()!

m

n

n

Annnnm

nm





2.组合数：

(1)(2)(1)!

!!()!

m

n

nnnnmn

C

mmnm







3.组合数的性质：

（1）mnm

nn

CC；

（2）1

1

mmm

nnn

CCC





（3）0122nn

nnnn

CCCC；13502412n

nnnnnn

CCCCCC

（4）1

1

mm

nn

n

CC

m





；1231232nn

nnnn

CCCnCn

（5）1

121

rrrrr

rrrnn

CCCCC



；

4.二项式定理：011()nnnrnrrnn

nnnn

abCaCabCabCb

（1）展开式中的通项（第

1r

项）：

1

rnrr

rn

TCab





（2）二项式系数：r

n

C（1,2,,rn），

若n为偶数，则展开式的中间一项

1

2

n

T



的二项式系数最大；

若n为奇数，则展开式的中间两项

1

2

n

T



与

1

1

2

n

T





的二项式系数最大；

（3）二项式系数和与各项系数和

二项式系数和：2n各项系数和的运算方法：令()nab中

的变量等于1

例如：4

1

(2)

x

的二项式系数和为4216，各项系数和为44

1

(2)381

1

（令

1x）

六、概率

1.古典概型与几何概型

（1）古典概型的概率()

m

PA

n

，差不多事件有限，每个差不多事件显

现的可能性相同.

m表示事件A包含的差不多事件数，n表示所有差不多事件数.

（2）几何概型的概率()APA





，差不多事件无限，每个差不多事件显

现的可能性相同.

A

表示事件A发生区域的几何度量，



表示总区域的几何度量（如长度、

面积、体积）

2.互斥事件与对立事件

（1）概念明白得：互斥事件——AB；对立事件——AB且

()()1PAPB.

（2）关系：对立的两个事件一定互斥，互斥的两个事件不一定对立.

（3）概率加法公式：若事件

A

与

B

互斥，则()()()PABPAPB.

3.相互独立事件,AB及其同时发生的概率：()()()PABPAPB.

4.条件概率：设A与B为两个事件，且()0PA，则

()

(|)

()

PAB

PBA

PA

，

其中(|)PBA表示事件

A

发生的条件下事件

B

发生的概率.

5.离散型随机变量及其分布列

（1）分布列性质：0

i

p，

12

1

1

n

in

i

pppp



.

（2）随机变量

X

的数学期望（均值）：

1122

1

n

iinn

i

EXxpxpxpxp



.

（3）随机变量

X

的方差：

2

1

()

n

ii

i

DXxEXp



222

1122

()()()

nn

xEXpxEXpxEXp.

（4）随机变量

X

的均值与方差的性质：()EaXbaEXb；

2()DaXbaDX.

（5）二项分布（独立重复实验）：~(,)XBnp，EXnp，(1)DXnpp

在n次试验中恰好成功k次的概率()(1)kknk

n

PXkCpp，

0,1,,kn

注意：X表示试验成功的次数

（6）超几何分布：在含有

M

件次品的N件产品中，任取n件，其中恰

有

X

件次品数，则

()

knk

MNM

n

N

CC

PXk

C



，其中,nNMN

6.正态分布：2~(,)XN，其中表示总体平均值，表示标准差

（1）正态总体函数2

2

()

2

1

2

x

fxe











 ，,x

①在正态分布中，当0，1时，叫做标准正态分布，记作~(0,1)XN.

②函数fx的图象关于

x

对称，()0fx，

max

1

2

fx





③函数fx的图象与x轴围成的总面积为1，()()0.5PXPX

④越大，函数fx的图象越“矮肥”；越小，函数fx的图象越“高

瘦”

（2）几个重要的概率：

七、数系的扩充与复数的引入

1.数系：*NNZQRC

2.复数的概念：形如abi(,)abR的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，

21i，

a与b分别叫做复数abi的实部和虚部.

3.复数abicdi的充要条件是ac且bd.特例0abi0ab.

4.关于复数abi，当0b时，它是实数；当0a且0b时，它是纯虚

数.

5.复数的模：向量OZ的模，叫做复数zabi的模，即

zabi22ab.

6.复数所在象限的确定：zabi对应点(,)ab，判定点(,)ab所在的象限.

7.共轭复数：zabi的共轭复数为zabi.

8.复数加、减法法则：(abi)



(cdi)=()()acbdi.

9.复数乘、除法法则：(abi)(cdi)=()()acbdbcadi.

八、统计案例

1.回来直线方程为ˆ

ˆˆ

ybxa用最小二乘法求得的线性回来方程系数公

式：

11

2

22

11

()()

ˆˆ

ˆ

()

nn

iiii

ii

nn

ii

ii

xxyyxynxy

baybx

xxxnx















=，（

ˆ

ˆˆ

ybxa必过样本中心点

,xy）

2.残差公式：ˆˆ

iii

eyy；衡量模型拟合成效的一个指标：相关指数

2

2

1

2

1

ˆ

)

1

)

n

ii

i

n

i

i

yy

R

yy















(

(

残差平方和2

1

ˆ

)

n

ii

i

yy



(越小，2R（201R）越接近于1，回来成效越好.

2R与r的区别：2R为相关指数，r为相关系数，0r时为负相关，0r时

为正相关，

11r，r越接近于1，变量间的相关性就越强.

3.独立性检验的解题步骤：

（1）写出列联表；

（2）据公式代数求解2K的值；

（3）依照观测值2K查表，假如2

0

Kk，就推断两变量有关系，犯错误

概率不超过

P

（即有

1P

的把握推断两变量有关系）；否则就认为在犯错误

的概率不超过

P

的前提下不能推断两变量有关系

2

()(

n

K

abc





，

（

上表中的概率

P

是指犯错误的概率）

九、坐标系与参数方程选讲

1.极坐标系的公式：222cos,sin,,tan(0)

y

xyxyx

x

.

（表示极点O和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角）

2.参数方程：

（1）圆222()()xaybr的参数方程：

cos

sin

xar

ybr















（为参数）；

（表示圆心和曲线上的点的连线与x轴的正方向所成的角）

（2）椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的参数方程：

cos

sin

xa

yb















（为参数）；

*（3）抛物线22ypx的参数方程：22

2

xpt

ypt











（t为参数）；

*（4）双曲线22

22

1

xy

ab

的参数方程：

c

tan

xa

yb















（为参数）.（

1

c

cos





）；

（5）直线

00

tan()yyxx的参数方程：0

0

cos

sin

xxt

yyt















（t为参数）.

（t表示点

00

,Pxy到直线l上的任意一点(,)Mxy的有向距离）

圆心和曲线上的点的连线与x轴的正方向所成的角）

3.空间直角坐标系：已知向量a=

111

(,,)xyz，b=

222

(,,)xyz

（1）空间向量的平行与垂直：a∥b111

222

xyz

xyz

（

222

,,0xyz）

（2）空间向量的模、距离公式：

a=222

111

,xyz222

212121

()()()ABxxyyzz

P(K2≥k

0

)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k

0

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

（3）点(,,)xyz关于x轴对称的点为(,,)xyz，关于

y

轴对称的点为

(,,)xyz

关于z轴对称的点为(,,)xyz，关于原点(0,0)对称的点为(,,)xyz

关于平面xOy对称的点为(,,)xyz，关于平面yOz对称的点为(,,)xyz，

关于平面xOz对称的点为(,,)xyz，

十、空间的角与空间的距离（向量法）：

设直线a与b的方向向量分别为,ab，平面与的法向量分别为

12

,nn

（1）异面直线a与b所成的角



：则cos







ab

ab

，(0,]

2





（2）直线a与平面所成的角



：1

1

1

sincos,







an

an

an

，[0,]

2





（3）二面角l的平面角



：12

12

cos







nn

nn

，[0,]

注意：二面角的平面角需要依照实际图形，判定“锐角”依旧“钝

角”

（4）点

P

到平面的距离：1

1

PA

d





n

n

，其中A

十一、补充公式与定理

1.斜率k、比率、离心率e，2

1

1

1

ek











（焦点在x轴上的所有圆锥曲线都成立，若焦点在y轴，则改为

2

11

1

1

e

k











）

2.斜率

12

kk为定值的两个定理：

椭圆22

22

10

xy

ab

ab

上的关于原点对称的两定点为,AB，点M是椭圆

上的动点，直线PQ交椭圆于,PQ两点，点N是PQ的中点，则

2

2

MAMB

b

kk

a

，

2

2

PQON

b

kk

a

；

双曲线22

22

10,0

xy

ab

ab

关于原点对称的两定点为,AB，点M是双曲

线上的动点，直线PQ交双曲线于,PQ两点，点N是PQ的中点，则

2

2

MAMB

b

kk

a

，

2

2

PQON

b

kk

a

.

（以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在y轴上，则,ab的位置互

换）

3.奇异的置换缔造完美的切线（适用于圆和圆锥曲线）

（1）曲线上任意一点

11

,Pxy的切线方程为：

将原曲线方程按照以下方式“2

1

xxx，2

1

yyy，2

1

xaxaxa，

2

1

ybybyb，1

2

xx

x



，1

2

yy

y



”置换得到.

（2）过曲线外任意一点

00

,Pxy引曲线的两条切线，切点A,B所在的

直线方程为：

将原曲线方程按照以下方式“2

0

xxx，2

0

yyy，2

0

xaxaxa，

2

0

ybybyb，0

2

xx

x



，0

2

yy

y



”置换得到.

4.求点A关于直线0xym（0xym）的对称点A

能够用“x,y交

叉置换法”快速求解.例如求3,2A关于30xy的对称点

00

,Axy

，①把

30xy进行交叉置换0

0

3

3

xy

yx











，②3,2A代入即可求得

00

,Axy

为

1,6A



.

（注意：当对称轴的斜率1k时才能够用此绝技，否则只能用传统的

解方程组的方法）.

5.复杂的导数问题常考“整体法”，关键是要想到整体函数gx，常见

的gx有