四点共圆的条件

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探究四点共圆的条件

教学设计

活

动

目

标

知识

技能

1、理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

2、掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。

数学

思考

1、通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合

情推理能力和演绎推理能力。

2、通过观察图形，提高学生的识图能力。

3、通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。

解决

问题

在探究四边形四个顶点能否共圆的活动中，学会运用由特殊到一般的数

学思想，并能利用转化的数学思想解决问题。

情感

态度

在数学活动中发展学生使其主动参与师生、生生的交流活动，学会和人

合作，学会倾听，培养学生大胆实践、勇于创新、团结互助的精神，使

学生在活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

重点通过活动探究四点共圆的条件。

难点对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。

活动过程设计

问题与情境师生行为设计意图

一、创设情境：

演示课件：

1、向学生展示一组圆在生活中的图片。

教师演示课件：

教师解释：古代人最

早是从太阳，从阴历十五

的月亮得到圆的概念的，

圆在生活中有更广泛的应

用，会作圆并且真正了解

圆的性质，却是在2000

多年前，是由我国的墨子

给出圆的概念的：“一中同

长也”,圆的两个要素：圆

心和半径。

从生活中的实际问题入

手，使学生认识到数学总是

与现实问题密不可分，人们

的需要产生了数学。

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问题情境

2、一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”

字型排开，这样的队形对每个人公平吗？

你认为他们应当排成什么样的队形？怎

样排？

师生行为

对于问题2，教师引导学

生将实际问题转化成数学

问题，即到中间物体的距

离相等的点应该满足什么

条件？如何去找到这几位

同学的位置？

设计意图

将实际问题数学化，让

学生从一些简单的实例中，

不断体会从现实世界中寻找

数学模型、建立数学关系的

方法。

二、分析与交流：

问题

1、过一个点能作圆吗？能作几个圆，圆

心和半径能确定吗？

2、过两个点能作圆吗？能作几个圆，圆

心和半径能确定吗？

3、过三个点能作圆吗？能作几个圆，圆

心和半径能确定吗？过四个点呢？

教师提出问题，学生

回顾学过的知识

由学生经过观察，分

析，总结归纳出简单的点

与圆的关系，并了解点共

圆所必须满足的基本条

件。

此环节的设计是为探究

四点共圆的条件作好铺垫工

作。由简单到复杂，让学生

在复习的过程中温故而知

新，激发学生的求知欲望，

调动学生学习的积极性。

活动一：阅读与交流

判断菱形的四个顶点是否共圆

九年级某班在探究菱形的四个顶点是否

共圆的活动中，飞跃组的四位同学分别有

如下四种不同的做法，分别是：

甲同学（如图1）:以对角线的交点O为

圆心，OA长为半径作圆，发现B、D两

点不在这个圆上，得出A、B、C、D四

教师提出问题，让学

生先进行思考，然后动手

操作，在合作交流活动中

探寻问题的答案。

附图

活动1的设计是让学生

尝试利用特殊的图形去对问

题进行研究。

在学生活动的过程中，

通过自主学习，小组合作交

流，培养学生团结互助精神，

菱形

A

B

C

D

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个点不共圆。

乙同学（如图2）:作任意三边即AB、BC、

AD的垂直平分线，发现这三条线没有交

于一点，得出A、B、C、D四个点不共

圆。

丙同学（如图3）:过A、B、D三边作圆，

发现点C在圆内，得出A、B、C、D四

个点不共圆。

丁同学（如图4）:过A、B、C三点作圆，

发现点D在圆外，得出A、B、C、D

四个点不共圆。

活动二：

1、判断如下两个四边形的四个顶点

是否共圆。

2、综上所述判断影响四边形四个顶

点的共圆的条件可能与什么元素

（边、角、对角线）

有关？

猜想：满足__________的四边形的四

个顶点在同一个圆上

活动三：探究并验证

1、如果过某个四边形的四个顶点不

能作一个圆，那么其相对的两个内角

之间有上面的关

系吗？请说明其中的道理（提示：

请考虑∠A＋∠C与180°之间的

教师进一步引导学生分析

一般的四边形和特殊的四

四边形四个顶点共圆，发

现共同特征：对角互补。

让学生会利用特例去对

问题进行研究，从特殊到特

殊，最后到一般情况，一步

一步地向探究的目标靠近，

有利于学生在“做”数学的

过程中思考，积淀，从而积

累数学活动的经验。

让学生明确一个问题的解决

方案；在推测之后要进行验

证。通过证明，让学生感受

数学的严谨感受到数学结论

D

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关系）

的确定性和证名的必要行。

活动四：训练与反馈

1、在四边形ABCD中，如果∠A=

115°，∠B=30°，那么当∠

C=_____时，四边形A能四点共

圆。

2、如图，已知ABCD为平行四边形，

过点A和B的圆分别与圆交于

E、F两点。

求证：C、D、E、F四点共圆．

四、归纳反思：

问题

通过这节课的活动，你有哪些收获？

教师带领学生从知

识、方法、数学思想等方

面小结本节课所做活动，

并关注不同层次的学生对

所学内容的理解和掌握。

考察学生能否为四边行

的对角互补判定该四边形四

个定点共圆。

通过小节使学生总结本节课

所学到的知识、技能、方法。

培养学生数学思想、数学方

法、数学能力和对数学的积

极情感。

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