圆锥体积公式推导过程

圆锥体体积公式的证明

证明需要几个步骤来解决:

1）圆柱体的微分单元是三棱柱，而圆锥体的微分单元是三棱锥。

所以,只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确.

2)如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中，第二个“等底等高”的“高"是横着的,而“底”是竖着的.）

现在需要证明，这三个三棱锥,体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.

证明需要的命题是:底面全等,且高度相等的三棱锥，体积必然相同。

3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理:

祖暅原理.

注释：祖暅原理

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖

暅(gèng）首先提出来的。

祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平

面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1589-1647）发现。于1635

年出版的《连续不可分几何》中,提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理"。其

实,他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

祖暅原理的思想

我们都知道“点动成线，线动成面,面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的

长短;面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，

最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让

构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。

两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等.两平行面

之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点,可以画出一个

平行于两平行面的截面,若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等,则说明两

几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同.有无数个截面，同一高度每两个几何体的截

面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说,它们的体积相

同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理.

这个原理说：如果两个高度相等的立体,在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体

积就相等。

所以，下图可证明：若两三棱锥的底面(三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面(三

角形）也必然全等.于是可以根据祖暅原理断言：

等底等高的三棱锥，体积都相等：

三棱柱的体积,与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：

知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成题目的证明。

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下面这个图，说明了一个直接的、有趣的推论：

注意上面这个图，在推算球体的体积的时候,还可以用到。

下面再给几个有趣的推论,直到求出球体的体积和表面积公式：

1）金字塔锥的体积也是：(1/3）x底面积x高。

这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的：

2）下面的图说明,球体的微分单元是金字塔锥体。

由此可知，球体的体积=（1/3)x球的表面积x球半径.

上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上，

根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步.

3）球体的体积。

先看半球的体积：

这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体,我们前面见过,右边是一个半

球，高度(球半径）与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.

根据图,在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环（绿色）面积是：πR2—πh2。而右边

的图里，被截的圆（绿色）面积是：πr2=π(R2—h2）。

可见,两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。

左边形体的体积=圆柱体的体积—圆锥体的体积=（2/3)πR3。

所以,右边的半球的体积也是=（2/3)πR3。

可知整个球体的体积公式是：

V=(4/3）πR3。

再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：

S=4πR2。

(我们用直观方法得出了球的体积公式。学了微积分的人容易知道用下图的微积分算法求出球的体积公

式）