圆系方程

圆系方程及其应用

一、常见的圆系方程有如下几种：

1、以

(,)ab

为圆心的同心圆系方程：222()()(0)xayb

与圆22yx＋Dx＋

Ey

＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22yx＋Dx＋

Ey

＋＝０

2、过直线

Ax

＋

By

＋Ｃ＝０与圆22yx＋Dx＋

Ey

＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22yx

＋Dx＋

Ey

＋Ｆ＋（Ax＋

By

＋Ｃ）＝０（Ｒ）

3、过两圆

1

C:22yx＋

111

FyExD＝0，

2

C:22yx＋

222

FyExD＝０交点的圆系

方程为：22yx＋

111

FyExD＋（22yx＋

222

FyExD）＝0（≠-１，此圆

系不含

2

C:22yx＋

222

FyExD

＝０）

特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切

时，表示公切线方程．

注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆

2

C，可等价转化为过圆

1

C和两圆公共弦所在直

线交点的圆系方程:22

111121212

[()()()]0xyDxEyFDDxEEyFF

二、圆系方程在解题中的应用：

1、利用圆系方程求圆的方程：

例1求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆

的方程。

解一：求出两交点（-1,3）（-6,-2），再用待定系数法：1．用一般式；2．用标准式。

（注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。）

解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：

1．两交点的中垂线与直线相交；

2．过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；

3．两圆心连线与直线相交。

解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。

例１、求经过两圆22yx＋3

x

－

y

－2＝０和2233yx＋2

x

＋

y

＋１＝０交点和坐标原

点的圆的方程．

解：方法3：由题可设所求圆的方程为：

（22yx＋3

x

－

y

－2）＋（2233yx＋2

x

＋

y

＋１）＝０

∵（0，0）在所求的圆上，∴有－2＋＝０．从而＝２

故所求的圆的方程为：0)1233(2)23(2222yxyxyxyx

即2277yx＋7

x

＋

y

＝０。

2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：

例2（1）：求过两圆225xy和22(1)(1)16xy的交点且面积最小的圆的方程。

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，

虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先

求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆

的问题。

解：圆225xy和22(1)(1)16xy的公共弦方程为

22110xy

过直线

22110xy

与圆225xy的交点的圆系方程为

2225(2211)0xyxy，即2222(1125)0xyxy

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，

圆心

(,)

必在公共弦所在直线

22110xy

上。即22110，则

11

4



代回圆系方程得所求圆方程22

111179

()()

448

xy

例２（2）;求经过直线

l

：2

x

＋

y

＋4＝０与圆Ｃ：22yx＋2

x

－4

y

＋1＝０的交点且

面积最小的圆的方程．

解：设圆的方程为：22yx＋2

x

－4

y

＋1＋（2

x

＋

y

＋4）＝０

即22yx＋

yx)4()1(2＋（1＋4）＝０则



5

4

)

5

8

(

4

5

)41(4)4()1(4

4

1

2222r

，当＝

5

8

时，2r最小，从而圆的面

积最小，故所求圆的方程为：2255yx＋26

x

－12

y

＋37＝０

练习：

1．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项

为零）

2．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。

（圆心的纵坐标为零）

3．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最

小或圆心在直线上）

4．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求

出切点坐标。（圆心到x轴的距离等于半径）

3、利用圆系方程求参数的值：

例3：已知圆2260xyxym与直线

230xy

相交于P，Q两点，O为坐标原点，

若

OPOQ

，求实数m的值。

分析：此题最易想到设出

1122

(,),(,)PxyQxy，由

OPOQ

得到

1212

0xxyy，利用设而不

求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘

本题的几何关系OPOQ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的

交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线

230xy

与圆2260xyxym的交点的圆系方程为：

226(23)0xyxymxy，即

22(1)2(3)30xyxym………………….①

依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心

1

(,3)

2







显然在直线230xy上，则

1

2(3)30

2









，解之可得1又(0,0)O满足方程①，则30m，故3m。

4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：

例4圆系22yx＋2k

x

＋（4k＋10）

y

＋10k＋20＝０（kＲ，k≠-１）中，任意两

个圆的位置关系如何？

解：圆系方程可化为：22yx＋10

y

＋20＋k（2

x

＋4

y

＋10）＝０

∵与k无关∴











02010

01042

22yyx

yx

即











5)5(

052

22yx

yx

易知圆心（０，-５）到直线

x

＋2

y

＋5＝０的距离恰等于圆22)5(yx＝５的半径．故

直线

x

＋2

y

＋5＝０与圆22)5(yx＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆

系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．

总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能

优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。