行列式计算

1利用行列式的定义直接计算

1.1.1二阶行列式的定义

1112

11221221

2122

aa

aaaa

aa



1.1.2三阶行列式的定义

111213

22132231

313233

2

.

aaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaaaaa





1.1.3n阶行列式的定义



12

12

12

11121

21222

12

12

1n

n

n

n

jjj

n

njjnj

jjj

nnnn

aaa

aaa

Daaa

aaa















也就是说n阶行列式

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

等于所有取自不同行不同列的

几个元素的乘积(*)...

21

21

n

j

n

jj

aaa的代数和。这里

n

jjj...

21

是1,2…n的一

个排列，当

n

jjj...

21

是偶排列时，(*)式取正号，当

n

jjj...

21

是奇排列时(*)

式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用，

即n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。

对于一个n级行列式,按定义展开后共有n！项,计算它就需要做

n！（n

-1）个乘法,当

n

较大时,n！是一个相当大的数字,直接从定义

来计算行列式几乎是不可能的,因此,定义法一般适用于阶数较低的

行列式。

1.2利用行列式的性质计算

性质1.行列互换，行列式的值不变，即=D

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

















21

22212

12111

21

22221

11211



性质2.交换行列式中两行对应元素的位置，行列式变号。

推论：若一个行列式中有两行的对应元素相同，则这个行列式的值为

零。

性质3.把行列式中某一行的所有元素同乘以数k，等于用数k乘以这

个行列式。

nnnn

inii

n

nnnn

inii

n

aaa

aaa

a

aa

k

aaa

kakaka

a

aa





























21

21

1

1211

21

21

1

1211



推论1.行列式某一行有公因子时，可以把这个公因子提到行列式的

符号外面。

推论2.如果行列式某两行的对应元素成比例，则这个行列式为零。

性质4.如果行列式第i行的各元素都是两元素的和，则这个行列式

等于两个行列式之和，这两个行列式分别以这两个元素作为第

i行对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同

（i=1,2，……n）。

nnnn

n

n

nnnn

n

nn

nnnn

nn

n

aaa

c

cc

aaa

aaa

b

bb

aaa

aaa

cbcbcb

aaa







































21

21

11211

21

21

112

21

2211

11211





性质5.行列式某一行的各元素加上另一行对应元素的k倍，行列式

的值不变。

性质6.n阶行列式D=等于它的任一行的各元素与它们对应的代数余

子式的乘积之和，即：

D=++…+，i=1,2，…n.

推论：若行列式某一行元素都等于1，则行列式等于其所有代

数余子式之和。

1.3化三角形法

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式

计算的一种方法。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行

列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。这是计

算行列式的基本方法重要方法之一。原则上，每个行列式都可利用

行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情

况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性

质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

1.4利用范德蒙行列式

12

222

12

1

111

12

111

()

n

nij

nij

nnn

n

xxx

Dxxxxx

xxx

















，n.

例：计算行列式12

222

1122

121212

1122

111

111

n

nn

nnnnnn

nn

xxx

Dxxxxxx

xxxxxx

















解:把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3

行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德

蒙行列式

12

222

12

1

111

12

111

()

n

nij

nij

nnn

n

xxx

Dxxxxx

xxx















