三角形外接圆半径公式

三角形外接圆半径的求法及应用

九年义教初中《几何)第三册(以下简称“教材”)第94页例2：

AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．

求证AB·AC＝AE·AD．

即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的

商．

例1如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它

的外接圆的半径．(课本题)．

解由题意知三角形底边上的高为

(95山西中考)

解从A作AM⊥BC于M，则

AD2－MD2＝AM2

＝AC2－(MD＋CD)2．

即52－MD2＝72－(MD＋3)2．

得R＝14，

则△ABC外接圆面积

S＝πR2＝196π．

例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1

上，求①抛物线的顶点坐标；

②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；

③△ABC的外接圆的面积．

(94山西)

解①A(2，－9)；

②B(－1，0)；C(5，0)．

③从A作AM⊥x轴交于M点，

则BM＝MC＝3．AM＝9．

∴R＝5

△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π

教材第206页第5题：

在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．

因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆

半径，如：

例4如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a

＝______cm．(95广西中考)

解∵正三角形每一个内角为60°．

例5已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为120°，求

它的外接圆的直径．(课本题)

解由题意知：

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，

也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，

也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b

异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式

（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b^2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______

Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac

的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}

上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^

2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a

≠0)

7.特殊值的形式

①当x=１时y=a+b+c

②当x=-1时y=a-b+c

③当x=2时y=4a+2b+c

④当x=-2时y=4a-2b+c

8.定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①

[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

奇偶性：偶函数

周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ＞0，图象与x轴交于两点：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一点：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)^2+k[顶点式]

此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；

③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）

对称轴X=(X1-X2)/2当a>0且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦

（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小

此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元

二次方程连用）。