立体几何练习题

立体几何大题专练

1、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；

(1)求证：MN//平面PAD

(2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD

2（本小题满分

12分）

如图，在三棱锥PABC中，,EF分别为,ACBC的中点．

（1）求证：//EF平面PAB；

（2）若平面PAC平面ABC，且PAPC，90ABC，

求证：平面PEF平面PBC．

（1）证明：连结EF,QE、F分别为AC、BC的中点，

//EFAB.……………………2分

又EF平面PAB，AB平面PAB，

EF∥平面PAB.……………………5分

（2）PAPCQ，E为AC的中点，

PEAC……………………6分

又Q平面PAC平面ABC

PE面ABC……………………8分

PEBC……………………9分

又因为F为BC的中点，

090,BCEFABCQ……………………10分

BC面PEF……………………11分

P

A

C

E

B

F

又BCQ面PBC

面PBC面PEF……………………12分

3.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。

（1）求证：BC1//平面CA1D；

（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。

4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是

AB、PC的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：EF⊥CD；

(3)若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

5．（本小题满分12分）

如图，PCABNMABCDPA、分别是、所在的平面，矩形的中点．

（1）求证：PADMN平面//；（2）求证：CDMN；

6.如图，正方形

ABCD

所在的平面与三角形ＡDＥ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝

ＥD设线段BC、AE的中点分别为F、

M，求证：（1）FM∥ECD平面；

（2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．

（1）证明：取AD的中点N,连结FN,MN,则MN∥ED，

FN∥CD

∴平面FMN∥平面ECD.

∵MF在平面FMN内,

∴FM∥平面ECD......5分

（2）连接EN,∵AE=ED，N为AD的中点，

∴EN⊥AD.

又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD.

作NP⊥BD,连接EP,则EP⊥BD，

∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，

设AD=a,∵ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形，

∴EN=

1

2

a,NP=

2

4

a.

∴tan∠EPN=2.......10分

7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱.

N

M

P

D

C

B

A

(1)试用x表示圆柱的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大.

19.（1）解：设所求的圆柱的底面半径为r

则有

6

6

2

xr

,即

3

2

x

r.

∴

2

3

2

4)

3

2(22xxx

x

rxS





圆柱侧

.......5分

（2）由（1）知当3

)

3

2

(2

4











x时，这个二次函数有最大值为6

所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为

26cm......10分

8．（10分）

如图，在三棱锥

PABC

中，⊿

PAB

是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90o.

（1）证明：AB⊥PC；

（2）若

4PC

，且平面

PAC

⊥平面

PBC

，求三棱锥

PABC

体积.

解：

（1）因为PAB是等边三角形，90PACPBC,

所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。

如图，取AB中点D，连结PD,CD,

则PDAB,CDAB,

所以AB平面PDC,

所以ABPC......5分

（2）作

BEPC

，垂足为

E

，连结

AE

．

因为

RtPBCRtPAC

，

所以

AEPC

，

AEBE

．

由已知，平面

PAC



平面

PBC

，故

90AEB

．

因为

RtAEBRtPEB

，所以

,,AEBPEBCEB

都是等腰直角三角形。

由已知

4PC

，得

2AEBE

，

AEB

的面积

2S

．

因为

PC



平面

AEB

，

所以三角锥

PABC

的体积

18

33

VSPC......10分

9.（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明PB∥平面ACM；

(2)证明AD⊥平面PAC；

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

解析：(1)证明：如图，连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，

所以O为BD的中点．

又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平

面ACM.

(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平

面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.

(3)如图，取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝

1

2

PO

＝1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所

成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝

1

2

，

DO＝

5

2

.从而AN＝

1

2

DO＝

5

4

.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝

MN

AN

＝

1

5

4

＝

45

5

，

即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为

45

5

.

10（本小题满分12分）

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱

111

ABCABC中，3AC，

5AB，4BC，

1

4AA，点D是AB的中点．

（Ⅰ）求证：

1

ACBC；

（II）求证：

1

//AC平面

1

CDB；

（III）求三棱锥

11

ABCD的体积．

证明：（Ⅰ）在△ABC中，∵3AC，5AB，4BC，

∴△ABC为直角三角形，∴ACBC，……………1分

又∵

1

CC平面ABC，∴

1

CCAC，

1

CCBCC，……………2分

M

C

D

B

A

P

∴AC平面

1

BCC，∴

1

ACBC．……………4分

（II）设

1

BC与

1

BC交于点E，则E为

1

BC的中点，连结DE，……………5分

则在△

1

ABC中，

1

//DEAC，又

1

DECDB面，……………7分

∴

1

//AC平面

1

BCD．……………8分

（III）在△ABC中，过C作CFAB，F为垂足，∵平面

11

ABBA平面ABC，

∴CF平面

11

ABBA，而

3412

55

ACBC

CF

AB



，……………9分

∵

1111

ABCDCADB

VV



，……………10分

而

11

111

11

5410

22DAB

SABAA

V

g，……………11分

∴

11

112

108

35ABCD

V



．……………12分

11.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点

求下：（Ⅰ）直线EF//平面PCD；

（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD.

12.（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面,,ABCDPDCDE是PC

的中点，作EFPB交PB于点F。

（I）求证：//PA平面EDB；

（II）求证：PB平面EFD；

（III）求二面角PBCD的大小。

13．（本小题满分12分）

如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为2的正

方形，5PDPCPBPA

（1）求二面角CABP的度数

（2）若M是侧棱PC的中点，求异面直线PA与BM所成角的正切值

14．（本小题满分12分）

若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC。

（1）求证：BE//平面PDA；

（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB；

（1）证明：EC∥PD∴EC∥面PAD；同理BC∥面PAD；∴面BEC∥面PAD；∴BE∥面PAD

（2）证明：取BD的中点O，连NO、CO，易知，CO⊥BD；又∵CO⊥PD;∴CO⊥面PBD。

15．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDE中，底面ABC为等腰直角三角形，且90ACB，侧面BCDE是菱形，

O点是BC的中点，EO平面ABC。

（1）求异直线AC和BE所成角的大小；

（2）求平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值。