斜率k的公式

课题：《直线的斜率公式》

授课人：朱庆乡

一．教材分析：

本课主要介绍直线的斜率公式及应用．本节课是在学习直线的倾斜角和斜率之

后，为了方便研究直线的方程而设置的一个过渡内容．另外，本课内容对于后面导数

的学习起到铺垫的作用．

二．教学目标：

1．认知目标：

(1)掌握经过两点的直线的斜率公式；

(2)进一步理解倾斜角和斜率的相互联系；

2．能力目标：

(1)了解用坐标研究直线的解析几何的基本思想和其中的数形结合、转化的思想方法；

(2)通过公式形成过程的教学，培养学生联想、概括与抽象的思维能力，类比推理、归

纳和演绎推理的能力；

3．德育目标：

通过本节课的教学，对学生进行事物的联系与转化和运动变化的辩证唯物主义观

点教育．

4．情感目标：

通过生动的课堂教学，激发学生的学习兴趣；体验探索学习的过程，从而感受学

习的成功和喜悦．

三．重点难点：

1．教学重点：

过两点的直线的斜率公式及公式的应用

2．教学难点：

斜率公式的推导

3．难点突破：

通过构造

Rt

引出直线的斜率与两点坐标的关系，并对两点不同顺序以及直线不

同位置情况进行分析，以问题诱导学生进行探究发现，最终得出公式，再通过习题进

行巩固达标．

四．教学方法：

启发式、导学式

五.教学工具：

多媒体课件

六．教学过程：

教学内容

（一）复习：

1.直线的倾斜角：

（1）直线l的向上方向；

（2）

x

轴的正方向；

（3）最小的正角

2.直线的斜率：

（1）tank；

（2）



的取值范围；

（3）斜率k的取值范围

（二）新课讲解：

1.问题引入：我们知道两

点可以确定一条直线，

已知直线上两点的坐

标，如何计算直线的斜

率？

2．过两点的直线的斜率

公式：

已知点

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy，且

12

PP、与x

轴不垂直，用

12

PP、的坐

标来表示

12

PP的斜率k．

如图1，设直线

21

PP的倾斜角为



（

90），当

直线

21

PP的方向（即从

1

P指向

2

P的方向）向上时，

过点

1

P作

x

轴的平行线，过点

2

P作y轴的平行线，

两线相交于点

Q

，于是点

Q

的坐标为

21

(,)xy.

当



为锐角时，

21

PQP，

21

xx，

21

yy．

在

12

RtPPQ中，

221

12

121

||

tantan

||

QPyy

QPP

PQxx









．

师生互动

回顾直线的倾斜角和斜率，对上节课巩固和反馈．

老师：出示几个角．

学生：分辨是不是倾斜角，找出原因．

复习斜率，为公式推导铺垫．

老师：提出问题．

学生：引发思考，探究公式的推导过程．

老师：出示图1，适时提出问题：由tank,能不

能构造直角三角形去求？

学生：在老师的引导下，顺势思考，得出公式．

教学内容

思考：当



为钝角时，斜率该如何计算？

当



为钝角时，

12

180QPP，

12

xx，

12

yy．

在

12

RtPPQ中，

∴

2121

1221

tan

yyyy

xxxx









．

思考：已知直线上两点

111

(,)Pxy，

222

(,)Pxy，运

用上述公式计算直线

12

PP斜率时，与

12

,PP两

点坐标的顺序有关吗？

同样，如上图，当

21

PP、的

位置对调时，也有

师生互动

老师：进一步提出问



图2

图1

图4图3

题：当



为钝角时，斜率该如何计算？

学生：引发思考，根据互补两角的函数关系，建立

适当的直角三角形，推出公式．

老师：针对

12

PP、不同位置提出问题．

学生：思考讨论，得出同样结论．

老师：结论说明：斜率公式与两点顺序无关．

老师：思考：当直线

12

PP与x轴平行或重合时，上述

式子还成立吗？为什么？

学生：讨论，得出结论：仍然成立．

因为21

21

yy

k

xx







，分子为0，分母不为0，

0k

0，tan00k

教学内容

综上所述：

经过两点(,)

111

Pxy，(,)

222

Pxy的直线斜率公式：

yyyy

k

xxxx

1221

1221







（

21

xx）

公式的特点:

（1）与两点的顺序无关；

（2）公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通

过直线上两点的坐标来表示，而不需要求出

直线的倾斜角；

（3）当

12

xx时，公式不适用，此时直线与x轴垂

直，90．

３．例题分析：

例1如图5，已知

(3,2)A

，

(4,1)B

，

(0,1)C

，求直线

AB,

BC

,

CA

的斜率,并

判断这些直线的倾斜角

是锐角还是钝角.

解：直线AB的斜率

121

437AB

k







；

直线

BC

的斜率

直线

CA

的斜率

由0

AB

k及0

CA

k知：

直线AB及

CA

的倾斜角

均为锐角；

由0

BC

k知：直线

BC

的倾斜角为钝角．

师生互动

老师：思考：当直线平

行于y轴，或与y轴重

合时，上述斜率公式还

适用吗？为什么？

学生：不成立，因为分

图5

母为0．

老师：引导．

学生：总结出公式的特点．

老师：出示例1，引导学生利用公式得出答案．

学生：在老师的引导下得出答案．

教学内容

例２在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分

别为１，-１，２及-３的直线

1

l，

2

l，

3

l及

4

l．

解：取

1

l上某一点

1

A的坐标为

11

(,)xy，

根据斜率公式有：

1

1

0

1

0

y

x







，

即

11

xy．

设

1

1x，则

1

1y，

于是

1

A的坐标为

(1,1)

，

过原点及

1

A的直线即为

1

l．

同理，

2

l是过原点及

2

A的直线，

3

l是过原点及

3

A的

直线，

4

l是过原点及

4

A的直线．

注：例题２中，还可以选择点

1

A的坐标为

1

(1,)y、

（

1

,1x）来简化做题！

4．练习巩固：

（1）求经过点(2,0)A，(5,3)B的直线的斜率和倾

斜角．

（2）已知三点

(1,)Aa，

(3,5)B，(2,17)Ca

在

同一条直线上，求a．

（3）已知点A、B的所

在直线的斜率k=3，横

坐标分别为3和5，求

线段AB的长．

（4）将（3）中的横坐

标改为纵坐标，AB的长

如何？

5.知识小结：

经过两点(,)

111

Pxy，

(,)

222

Pxy的直线斜率公

式：

yyyy

k

xxxx

2112

2112

tan







（

12

xx）

师生互动

老师：出示例2，组织

学生分组讨论利用公式

得出答案．

学生：在老师的组织下

x

y

1

A

3

A

2

A

4

A

1

l3

l

2

l

4

l

图6

分组讨论利用不同方法得出答案．

老师：出示思考题，引导学生利用公式得出答案．

学生：在老师的引导下得出答案．

老师：引导学生总结本课．

教学内容

斜率公式的用途：

由公式可解决下列类型的问题：

（1）由

1

P、

2

P点的坐标求

k

的值；

（2）已知

k

及

1122

,,,xyxy中的三个量可求第四个量；

（3）证明三点共线．

师生互动

学生：在老师的引导下

总结出本课内容．

七．作业布置：

课本77P习题9-1（A）1、5

思考：证明三点共线的方法有哪些？

八.板书设计：

九．课后反馈：

投影幕

例1

例2