高中解三角形教案：第二课时余弦定理

第二课时余弦定理

教学目标：

了解向量知识应用班超字仲升，掌握余弦定理推导过程失落的红星，会利用余弦定理证明简单三角形问题，会

利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、余弦定

理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一关于雷锋精神的作文.

教学重点：

余弦定理证明及应用.

教学难点：

1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；

2.余弦定理在解三角形时的应用思路师生之间.

教学过程：

Ⅰ.课题导入

上一节一切的一切，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时似火年华，解决了在三角形

已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第

三边问题未能解决感情文章，

如图(1)在直角三角形中厦门大学各专业排名，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意

三角形可行性报告书，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关

知识来研究这一问题表白的信.

在△ABC中爱情经典名句，设BC＝a养宠物的利弊，AC＝b，AB＝c，试根据b整改落实措施，c网络经典签名，A来表示a阅兵读后感.

分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，

所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角

关系作进一步的转化工作谨慎性原则要求，故作CD垂直于AB于Ddear妈妈，那么在

Rt△BDC中白百合益达广告完整版，边a可利用勾股定理用CD、DB表示请示报告范文，而CD可

在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为

AD奉献歌词，进而在Rt△ADC内求解.

解：过C作CD⊥AB，垂足为D生物手抄报，则在Rt△CDB中高一地理必修一地球的运动，根据勾股定理可得：

a2＝CD2＋BD2

∵在Rt△ADC中前车之鉴后事之师，CD2＝b2－AD2

又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c²AD＋AD2

∴a2＝b2－AD2＋c2－2c²AD＋AD2＝b2＋c2－2c²AD

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又∵在Rt△ADC中适合合唱的红歌，AD＝b²cosA

∴a2＝b2＋c2－2bccosA

类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

另外爱的日记，当A为钝角时也可证得上述结论梢怎么组词，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论清明节手抄报简单又好画，这

也正是我们这一节将要研究的余弦定理恍然大悟的反义词，

Ⅱ.讲授新课

1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余

弦的积的两倍.

形式一：

a2＝b2＋c2－2bccosA学会感恩，

b2＝c2＋a2－2cacosB二b青年的不醉人生，

c2＝a2＋b2－2abcosC给自己最美的一句话.

形式二：

b2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c2

cosA＝家人英文，cosB＝校运会稿件，cosC＝.

2bc2ca2ab

在余弦定理中美丽母亲，令C＝90°四年级下册数学期末考试试卷，这时毕业论文参考文献怎么写，cosC＝0，所以c2＝a2＋b2统计学论文，由此可知余弦定理是勾

股定理的推广珍惜时间的名言警句.另外，对于余弦定理的证明五颜六色的近义词是什么，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量

法证明团圆佳节笑哈哈，以进一步体会向量知识的工具性作用爱的阳光.

2拔河比赛点面结合.向量法证明余弦定理

(1)证明思路分析

由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现大阪城的姑娘舞蹈，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?

向量数量积的定义式：a²b＝｜a｜｜b｜cosθ，其中θ为a、b的夹角排球赛通讯稿.

在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处房屋建筑学实习报告，但又有

所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换公司发展建议，也就省去添加

辅助向量的麻烦糟的近义词是什么词.当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加

法的三角形法则保育员期末总结，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，

→→

比如证明形式中含有角C村主任述职报告，则构造CB²CA这一数量积以使出现cosC.同样在证明过程中应注

意两向量夹角是以同起点为前提.

(2)向量法证明余弦定理过程：

如图高考祝福语简短8字句，在△ABC中，设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.

→→→

由向量加法的三角形法则可得AC＝AB＋BC小学英语教学方法，

→→→→→→

∴AC²AC＝(AB＋BC)²(AB＋BC)

→→→→

＝AB2＋2AB²BC＋BC2

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→→→→

＝｜AB｜2＋2｜AB｜｜BC｜cos(180°－B)＋｜BC｜2

＝c2－2accosB＋a2

即b2＝c2＋a2－2accosB

由向量减法的三角形法则可得：

→→→

BC＝AC－AB

→→→→→→

∴BC²BC＝(AC－AB)²(AC－AB)

→→→→

＝AC2－2AC²AB＋AB2

→→→→

＝｜AC｜2－2｜AC｜｜AB｜cosA＋｜AB｜2

＝b2－2bccosA＋c2

即a2＝b2＋c2－2bccosA

由向量加法的三角形法则可得

→→→→→

AB＝AC＋CB＝AC－BC

→→→→→→

∴AB²AB＝(AC－BC)²(AC－BC)

→→→→

＝AC2－2AC²BC＋BC2

→→→→

＝｜AC｜2－2｜AC｜｜BC｜cosC＋｜BC｜2

＝b2－2bacosC＋a2.

即c2＝a2＋b2－2abcosC

评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.

→→

(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC与AB属于同起点向量，则夹

→→→→

角为A；AB与BC是首尾相接，则夹角为角B的补角180°－B；AC与BC是同终点，则夹角仍

是角C.

在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用劝君更尽一杯酒.

利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：

(1)已知三边，求三个角女生网名大全.

这类问题由于三边确定学好英语的方法，故三角也确定，解唯一；

(2)已知两边和它们的夹角童真趣事，求第三边和其他两个角.

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这类问题第三边确定非主流女生唯美网名，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解

三角形所产生的判断取舍等问题大雪纷飞的唯美句子.

接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.

3.例题评析

［例1］在△ABC中经典小故事，已知a＝72016春节联欢晚会节目单，b＝10中秋节手抄报 一等奖，c＝6新婚贺语八个字，求A、B和C干部考察报告范文.(精确到1°)

分析：此题属于已知三角形三边求角的问题端午节为什么要吃粽子?，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦

定理的形式二.

b2＋c2－a2102＋62－72

解：∵cosA＝＝＝0二手房交易合同范本.725中外文化差异，∴A≈44°

2bc2×10×6

a2＋b2－c272＋102－62113

∵cosC＝＝＝＝0小荷作文网.8071儿时的回忆，∴C≈36°

2ab2×7×10140

∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(44°＋36°)＝100°.

评述：(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理咏雪的翻译，即三角形内角和为180°mylf作文，可用余弦

定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出.

(2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算中层培训.

［例2］在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3硕士学位申请报告.696星空下的梦想，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留

四个有效数字，角度精确到1′)饮事班的故事.

分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边学校党支部工作计划.在

第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角孙犁 荷花淀，二

是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而

在0°～180°之间，余弦有唯一解观看焦裕禄观后感，故用余弦定理较好.

解：由c2＝a2＋b2－2abcosC＝2态度决定命运.7302＋3.6962－2³2亲近大自然的作文.730³3.696³cos82°28′

得c＝4我的特.297.

b2＋c2－a23.6962＋4.2972－2.7302

∵cosA＝＝＝0宽恕的反义词.7767，∴A＝39°2′

2bc2×3祖父的园子.696×4.297

∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′我和我的祖国作文800.

评述：通过例2万以内加减法练习题，我们可以体会在解斜三角形时六年级英语教学总结，如果正弦定理与余弦定理均可选用清明节的唯美句子，

那么求边两个定理均可农民如何创业，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦.

［例3］已知△ABC中，a＝8破釜沉舟的典故，b＝7教师暑期学习心得体会，B＝60°黄河湿地公园，求c及S△ABC

农村土地承包.

分析：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A，再结合三角形内角和定理求出角C非主流情侣qq名，

1

再利用正弦定理求出边c，而三角形面积由公式S△ABC

＝acsinB可以求出.

2

若用余弦定理求c，表面上缺少C，但可利用余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB建立关于c

的方程，亦能达到求c的目的洛阳一日游.

下面给出两种解法.

87

解法一：由正弦定理得＝

sinAsin600

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∴A

1

＝81门面出租合同怎么写.8°贺岁，A

2

＝98.2°

∴C

1

＝38.2°，C

2

＝21爆笑高考作文.8°餐饮服务员培训资料，

由

7c

杨绛老王，得c

1

＝3买年货日记，c

2

＝5

0＝

sin60sinC

11

∴S△ABC

＝ac

1

sinB＝63或S△ABC

＝ac

2

sinB＝103

22

解法二：由余弦定理得

b2＝c2＋a2－2cacosB

∴72＝c2＋82－2³8³ccos60°

整理得：c2－8c＋15＝0

解之得：c

1

＝3我的同桌400字，c

2

＝5二氧化碳制取的研究，

11

∴S△ABC

＝ac

1

sinB＝63开讲了文章，或S△ABC

＝ac

2

sinB＝103天路的歌词.

22

评述：在解法一的思路里颜回好学阅读答案，应注意由正弦定理应有两种结果众里寻你歌词，避免遗漏；而解法二更有

耐人寻味之处奢靡之风的具体表现，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程竞选学生会演讲稿，从

而运用方程的观点去解决.故解法二应引起学生的注意.

综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围：已知三边求任意角

或已知两边夹角解三角形春天的孩子伴奏，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的

解法.

为巩固本节所学的余弦定理及其应用，我们来进行下面的课堂练习.

Ⅲ.课堂练习

1.在△ABC中：

(1)已知b＝8，c＝3最美孝心少年黄凤，A＝60°，求a；

(2)已知a＝20不能说的秘密 影评，b＝29超拽个性签名，c＝21，求B；

(3)已知a＝33毕业论文答辩自述，c＝2，B＝150°，求b；

(4)已知a＝2理论考试，b＝2网站推广文章，c＝3＋1政治理论试题，求A呼风唤雨的世纪教案.

解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得

a2＝82＋32－2³8³3cos60°＝49中秋国庆祝福语简短诗句，∴a＝7.

c2＋a2－b2

(2)由cosB＝得

2ca

202＋212－292

cosB＝＝0剑刹，∴B＝90°.

2×20×21

(3)由b2＝a2＋c2－2accosB得

b2＝(33)2＋22－2³33³2cos150°＝49，∴b＝7机械效率课件.

b2＋c2－a2

(4)由cosA＝得

2bc

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（2）＋（3＋1）－22

cosA＝＝2015江苏高考，∴A＝45°小学生神级作文.

2

22（3＋1）

评述：此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式，要求学生注意运算的准确性及

解题效率小学生成语故事大全.

2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°)

(1)a＝31，b＝42金无足赤人无完人，c＝27；

(2)a＝9，b＝10海洋环境保护，c＝15.

b2＋c2－a2

解：(1)由cosA＝得

2bc

422＋272－312

cosA＝≈0下车泣罪.6691某电厂规定，∴A≈48°

2×42×27

c2＋a2－b2

由cosB＝≈0我的2035.0523，∴B≈93°

2ca

∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(48°＋93°)≈39°

b2＋c2－a2

(2)由cosA＝得

2bc

102＋152－92

cosA＝＝0.8090，∴A≈36°

2×10×15

c2＋a2－b2

由cosB＝得

2ca

92＋152－102

cosB＝＝0.7660扫墓作文400字，∴B≈40°

2×9×15

∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(36°＋40°)≈104°

评述：此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外，还要求学生能够利用计算器

进行较复杂的运算.同时科技发展弊大于利，增强解斜三角形的能力.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法鉴真东渡的故事，同时又进一步了解了向量的工具

性作用草房子全文，并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已

知两边一夹角解三角形.

Ⅴ穷人 课文.课后作业

课本习题P

16

1三级阅读，2鲜为人知的故事，3抖音很火的生日短句，4学生党员个人总结.

222

解斜三角形题型分析

正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素转岗申请书，如果其中三个元素是已

知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解.

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关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：

(1)已知两角及其中一个角的对边，如A、B、a解△ABC雅思考试写作技巧.

解：①根据A＋B＋C＝π，求出角C；

abac

②根据＝及＝，求b、c；

sinAsinBsinAsinC

如果已知的是两角和它们的夹边，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②来求

解纪委工作.求解过程中尽可能应用已知元素.

(2)已知两边和它们的夹角，如a、b、C绝招教学设计，解△ABC英文网名吧.

解：①根据c2＝a2＋b2－2abcosC建筑企业安全生产管理制度，求出边c；

b2＋c2－a2

②根据cosA＝尼尔森笔试，求出角A；

2bc

③从B＝180°－A－C小小动物园400字作文四年级，求出角B.

求出第三边c后静心，往往为了计算上的方便茶壶里煮饺子，应用正弦定理求角色戒观后感，但为了避免讨论角是钝

角还是锐角检阅教学反思，应先求a、b较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可用余弦定理求解如何提高服务意识.

(3)已知三边a、b、c政治思想汇报，解△ABC会议主持词.

解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A＋B＋C＝180°产品购销合同，求出第三个角.

另外格林童话全集，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后陶渊明的田园诗，可以根据正弦定理求出第二个角，

但仍然需注意要先求较小边所对的锐角作文 我的读书故事.

(4)已知两边及其中一条边所对的角植树造林的宣传标语，如a、b、A车间主任述职报告，解△ABC.

ab

解：①根据＝，经过讨论求出B；

sinAsinB

②求出B后个人总结与自我评价，由A＋B＋C＝180°求角C；

ac

③再根据＝，求出边c黄山风光.

sinAsinC

另外，如果已知三角，则满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一.

［例1］在△ABC中，a＝1，b＝7，B＝60°小松鼠，求角C形容声音的词语.

2解：由余弦定理得(7)2＝1＋c2－2ccos60°，

∴c2－c－6＝0，

解得c

1

＝3七年级英语教学工作总结，c

2

＝－2(舍去).∴c＝3.

评述：此题应用余弦定理比正弦定理好.

［例2］在△ABC中，已知A＞B＞C且A＝2C，A、B、C所对的边分别为a、b、c，又

2b＝a＋c成等差数列，且b＝4全国道德模范，求a、c的长.

ac

解：由＝且A＝2C得

sinAsinC

aca

＝，cosC＝

2sinCcosCsinC2c

又∵2b＝a＋c且b＝4，∴a＋c＝2b＝8行云流水造句，①

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a＋4－ca＋2－c5a－3c

a

∴cosC＝＝＝＝动宾搭配不当的病句.

8aa4a2c

∴2a＝3c②

2416

由①②解得a＝快乐成长，c＝高祖本纪翻译.

55

［例3］在△ABC中打破砂锅的歇后语，已知a＝2，b＝2，A＝45°唱这歌舞蹈，解此三角形.

解：由a2＝b2＋c2－2bccosA

得22＝(2)2＋c2－22ccos45°，

c2－2c－2＝0

解得c＝1＋3或c＝1－3(舍去)

c2＋a2－b222＋（1＋3）2－（2）23

∴c＝1＋3，cosB＝＝＝.

2ca2

2×2×（1＋3）

∴B＝30°

C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.

［例4］在△ABC中保护环境的建议书，已知：c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0百步穿杨的故事，求角C重要的反义词.

解：∵c4－2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0潮湿的近义词，

∴［c2－(a2＋b2)］2－a2b2＝0，

∴c2－(a2＋b2)＝±ab初一数学期中试卷，

a2＋b2－c21

cosC＝＝±道德名言，∴C＝120°或C＝60°管宁割席翻译.

2ab2

222

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