第15讲奇数与偶数

第十五讲奇数与偶数

通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数什么时候立冬，即±1文学家名言，

±3慈善捐助，±5，…是奇数，0，±2，±4我不想说谎，±6北京赠品处理中心，…是偶数．

用整除的术语来说就是：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的

整数是奇数．通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k为整数管宁割席翻译，

偶数可以表示为2k的形式，其中k是整数．

奇数和偶数有以下基本性质：

性质1奇数≠偶数．

性质2奇数±奇数=偶数冀教版美术教案，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数．

性质3奇数×奇数=奇数绿化工程承包合同，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数．

性质4奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限

个偶数之和为偶数．

性质5若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．

性质6如果若干个整数的乘积是奇数鼓励自己的名言，那么其中每一个因子都是奇

数；如果若干个整数的乘积是偶数网络营销的发展，那么其中至少有一个因子是偶数．

性质7如果两个整数的和(或差)是偶数一个人的幸福，那么这两个整数的奇偶性

相同；如果两个整数的和(或差)是奇数周围环境，那么这两个整数一定是一奇一偶．

性质8两个整数的和与差的奇偶性相同．

性质9奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数2014高考英语作文.

性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9

的证明．

性质7的证明设两个整数的和是偶数可行性研究报告的内容主要包括，如果这两个整数为一奇一偶，

那么由性质2知光棍节短信，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．

同理两个整数的和(或差)是奇数时冰心作品，这两个数一定是一奇一偶．

性质8的证明设两个整数为X孔子拜师的故事，y．因为

(x+y)+(x-y)=2x

为偶数动画片花木兰，由性质7便知外甥像舅舅，x+y与x-y同奇偶．

性质9的证明若x是奇数服装经营理念，设x=2k+1，其中k为整数失落，于是

x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．

因为k与k+1是两个连续的整数introducemylf，它们必定一奇一偶美文，从而它们的乘

积是偶数．于是老鹰捉小鸡教案，x2除以8余1．

若y是偶数如何对对联，设y=2t妇女节快乐英文，其中t为整数，于是

y2=(2t)2=4t2

所以教师节贺卡简单又漂亮，y2是4的倍数．

例1在1，2，3乔迁之喜祝福语四个字，…有关长征的资料，1998中的每一个数的前面组织委员竞选稿，任意添上一个“+”

或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？

解由性质8知电焊工操作规程，这最后运算所得的奇偶性同

1+2+3+…+1998=999×1999

的奇偶性是相同的，即为奇数．

例2设1，2，3护林员工作职责，…端午节温馨祝福语，9的任一排列为a1田野上的白发，a2，…老师节日快乐，a9左忠毅公逸事.求证：(a1-1)(a2-2)…

(a9-9)是一个偶数．

证法1因为

(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)

＝(a1+a2+…+a9)-(1+2+…+9)

=0

是偶数全国两会精神主要内容2022，所以，(a1-1)3百大战，(a2-2)招商地产oa，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是

偶数(否则大专毕业生自我鉴定范文，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数桂林七星岩，与性质4矛盾)，从而由

性质5知

(a1-1)(a2-2)…(a9-9)

是偶数．

证法2由于1，2难忘的第一次作文500字，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9

中至少有一个是奇数傅雷家书的读后感，于是奠基仪式主持词，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶

数法学毕业论文，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数．

例3有n个数x1，x2童话梦，…木头人游戏，xn，它们中的每一个数或者为1，或者为

-1．如果

x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1=0一分钟英语自我介绍，

求证：n是4的倍数．

证我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数．

由于x1八年级班务工作计划，x2致最美的你，…，xn。的绝对值都是1，所以，x1x2实现梦想，x2x3education pays，…母亲节祝福短语，xnx1的

绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为-1．设其中有k个-1，由于总

和为0六级考试作文，故+1也有k个，从而n=2k．

下面我们来考虑(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)．一方面，有(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)

＝(-1)k房地产的广告语，

另一方面，有

(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)=(x1x2…xn)2=1．

所以(-1)k=1简历发展方向怎么写，故k是偶数，从而n是4的倍数．

例4设a大学生毕业论文范例，b是自然数总有一天会长大，且满足关系式

(11111+a)(11111-b)=123456789．

求证：a-b是4的倍数．

证由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数我的小书橱，所以a，b均为偶

数．又由已知条件

11111(a-b)=ab+2468彝族的风俗习惯，①

ab是4的倍数，2468=4×617也是4的倍数励志教育文章，所以11111×(a-b)是4

的倍数三项整治，故a-b是4的倍数仓储管理论文.

例5某次数学竞赛鲁迅伤逝，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答

得1分大学生创业创业项目，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛读书卡，全体学生的得分总和

一定是偶数．

证我们证明每一个学生的得分都是偶数．

设某个学生答对了a道题青春之殇，答错了b道题，那么还有40-a-b道题没

有答．于是此人的得分是

5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40母亲节主持词，

这是一个偶数．

所以，不论有多少人参赛真诚，全体学生的得分总和一定是偶数．

例6证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住

8×8的正方形2020年最走心的经典句子.

证将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如图1－62)．每一块4

×1骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块4×1的骨牌能盖

住偶数个白格．一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格中专生自我鉴定，总之能

盖住奇数个白格．于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白

格是奇数个．事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住8×8的正方

形．

练习十五

1．设有101个自然数，记为a1，a2，…神话故事，a101．已知a1+2a2+3a3+…

+100a100+101a101=s是偶数搞笑签名图，求证：a1+a3+a5+…+a9９+a101是偶数．

2．设x1胸有成竹的主人公，x2苏教版五年级语文上册教案，…，x1998都是+1或者-1．求证：

x1+2x2+3x3+…+1998x1998≠0．

3．设x1商山早行，x2，…，xn(n＞4)为1或-1，并且

x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+xnx1x2x3=0．

求证：n是4的倍数．

4．(1)任意重排某一自然数的所有数字网站设计书，求证：所得数与原数之和不

等于99…9(共n个9中秋节的诗歌古诗，n是奇数)；

(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这

个和等于1010学前培训，那么原数能被10整除．

5．(1)有n个整数，其和为零慢慢地什么，其积为n．求证：n是4的倍数；

(2)设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数成功人士讲座，其积为n大学生就业问题分析，其和为

零．

6．7个杯子杯口朝下放在桌子上优秀毕业生简历范文，每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻

为杯口朝上，杯口朝上的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的翻动，是

否能把全部杯子翻成杯口朝上？

7．能否把1迎接的近义词，1，2，2汉语拼音音节表，3，3，4，4林语堂 苏东坡传，5，5这10个数排成一行，使

得两个1中间夹着1个数宛转的近义词，两个2之间夹着2个数，…，两个5之间夹着

5个数？