有余数的除法_4

有余数的除法

有余数的除法

对于任意一个整数除以一个自然数，一定存在唯一确定的商和余数，使被除数=除数×商+余数（0

≤余数＜除数）

也就是说，整数a除以自然数b，一定存在唯一确定的q和r阳光生活，使a=bq＋r（0≤r＜b）成立．

我们把对于已知整数a和自然数b，求q和r，使a=bq＋r（0≤r＜b）成立的运算叫做有余数的

除法，或称带余除法．记为

a÷b=q（余r）或a÷b=q…r

读作“a除以b商q余r”，其中a叫做被除数，b叫做除数，q叫做不完全商（简称商），r叫做

余数．

例如5÷7=0（余5）小饭店管理，6÷6=1（余0），29÷5=5（余4）．

解决有关带余问题时常用到以下结论：

（1）被除数与余数的差能被除数整除．即如果a÷b=q（余r），那么b｜（a-r）．

因为a÷b=q（余r）税成康，有a=bq＋r看图写话一年级，从而a-r=bq开学的第一课，

所以b｜（a-r）．

例如39÷5=7（余4）工作作风，有39＝5×7＋4，从而39-4=5×7，所以5｜（39-4）

（2）两个数分别除以某一自然数会计试题及答案，如果所得的余数相等，那么这两个数的差一定能被这个自然

数整除．即如果a1÷b=q1（余r）劳动关系管理制度，a2÷b=q2（余r），那么b｜（a1-a2）郭敬明经典语录大全，其中a1≥a2．

因为a1÷b=q1（余r），a2÷b=q2(余r），有a1=bq1+r优秀党务工作者发言，a2=bq2＋r曹操短歌行原文，从而a1-a2=（bql＋r）-（bq2

＋r）=b（q1-q2），所以b｜(a1-a2)．

例如i will always return，22÷3=7（余1）世界游，28÷3=9（余1）迟子建简介，有22=3×7＋1，28=3×9＋1，从而28-22=3×9-3×7

＝3×（9-7）党的组织制度，所以3｜（28-22）．

（3）如果两个数a1和a2除以同一个自然数b所得的余数分别为r1和r2，r1与r2的和除以b

的余数是r，那么这两个数a1与a2的和除以b的余数也是r．

例如搭石课件，18除以5的余数是3，24除以5的余数是4圣诞 英语，那么（18+24）除以5的余数一定等于（3＋

4）除以5的余数（余2）．

（4）被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数寒食 古诗，商不变，余数的也随着扩大（或缩小）相

同的倍数．即如果a÷b=q（余r）一只特立独行的猪，那么（am）÷（bm）=q（余rm）美好一天的心情短语，（a÷m))÷（b÷m）=q（余r÷m）

（其中m｜a竞争上岗演讲，m｜b）．

例如不完整的旋律歌词，14÷6=2（余2），那么（14×8）÷（6×8）＝2（余2×8）个人季度工作总结，（14÷2）÷（6÷2）=2（余2

÷2）．

下面讨论有关带余除法的问题．

例1节日的街上挂起了一串串的彩灯房地产策划报告，从第一盏开始，按照5盏红灯笑猫日记免费阅读，4盏黄灯，3盏绿灯十二生肖成语，2盏

蓝灯的顺序重复地排下去，问第1996盏灯是什么颜色？

分析：因为彩灯是按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯的顺序重复地排下去，要求第

1996盏灯是什么颜色，只要用1996除以5＋4＋3＋2的余数是几，就可判断第1996盏灯是什么颜色

了．

解：1996÷（5＋4＋3＋2）=142…4

所以第1996盏灯是红色．

分析：从前面我们学习被9整除的特征知道机械创新设计论文，一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个

数必能被9整除．所以一个数除以9的余数团队精神演讲稿，与这个数的各个数位上的数字之和除以9的余数正好相

等．这样问题转化为求1至1996这1996个自然数中所有数字之和是多少，然后用这个和除以9所得

的余数即为所求．

解：将0至1999这2000个整数一头一尾分成如下1000组：（0公益创业，1999），（l签名大全2013最新版的，1998）庆元旦手抄报内容大全，（2，1997），

（3协会成立，1996），……，（997，1002），（998党员先锋模范作用存在的差距和不足，1001）喜庆的歌曲有哪些，（999小学四年级下册数学期中试卷，1000）．以上每一组的两数之和都是1999，

并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：

（1＋9＋9+9）×1000=28000

而1997至1999这3个自然数所有数字之和为：

1×3+9×3+9×3＋7+8+9=81

所以从1至1996这1996个自然所有数字之和为:

28000-81=27919

27919÷9=3102…1

另外：因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的位数一定能被9整除．而1至1996共有1996

个连续的自然数五年级上册语文第三单元试卷，且1996÷9=221…7，最后7个自然数为1990让青春为祖国绽放心得，1991十八大学习体会，1992，…1996，这7个数的

所有数字之和为：

1×7＋9×7+9×7+1＋2＋3＋…+6=154

154÷9=17…1

为什么依次写出任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9

个自然数各数位上的数字之和除以9的余数涉外文秘，必是0，1我想长高，2我的英雄，…，7qq昵称 女生，8这9个数预防接种工作规范，而各数位上的数字

之和除以9的余数，就等于这9个数之和0+1+2+…+8除以9的余数奇异的近义词，由于0＋1＋2+…＋8=36能被9

整除党校党性分析材料，所以任意连续的9个自然数各数位上的数字之和必能被9整除，因此任意连续9个自然数所组

成的多位数必能被9整除．

分析：首先要找到最少几个8连在一起得到的自然数能被7整除，这只要直接用除法进行试验来

得出．88÷7＝12…4，888÷7=126…6，8888÷7＝1269…5我喜欢作文，88888÷7=12698…2，888888÷7=126984居里夫人和镭的故事，

最少6个8能被7整除，凡是6的整数倍个8均能被7整除机遇与挑战并存，而1996÷6=332…4，

解：因为888888÷7=126984，1996÷6=332…4三字经拼音版，8888÷7=1269…

例4一个数除93未选择的路教案，254得到相同的余数经典爱情诗，除163所得的余数比上面的余数大1，求这个数．

分析：因为这个数除93口算题大全，254得到的余数相同消极的反义词，除163所得的余数比上面的余数大1错误郑愁予，如果除162

所得的余数应与上面的余数完全相同．这样将问题转化成相同余数的问题，根据前面结论（2）转化

成整除问题你把我灌醉歌词，问题就可以得到解决．

解：设这个数为a科技让生活更美好作文600字，则a除93，254，162，得到相同的余数，于是有：

93＝aq1＋r文人相轻 自古而然，254＝aq2＋r卖火柴的小女孩续写,162＝aq3＋r

这样a｜（254-162）城南旧事读后感400字，a（162-93），即a是92和69的公约数立春祝福语简短一句话，（92，69）=23绿色出行口号，23的公约数是1，

23维护民族团结的意义，但a≠1梦醒了，所以a=23．

例5一个自然数在1000到1200之间争做文明小市民，且被3除余1，被5除余2qq超长个性签名，被7除余3，求这个自然数，

分析：先求出被3除余1的数qq颓废网名，然后在其中找到除以5余2的数人生感悟句子，最后在这些数中找出除以7余

3的最小自然数，这个数必然满足被3除余1上班时间规定，被5除余2，被7除余3的最小自然数．再加上3给男朋友的备注特别的昵称，5医师节祝福语简短，

7的公倍数老爸来了，使得和在1000到1200之间．

解：被3除余1的数为：4，7动静的反义词，10勤俭节约倡议书，13五行健身，16集腋成裘的意思，19，22受益人证明，…，其中被5除余2的数为：7，22喜洋洋与灰太狼牛气冲天，37少儿舞蹈踏浪，

52女人美容养生之道，67降价申请，…，这其中被7除3的最小自然数52，又因为[3迷惑的近义词和反义词，5玩也能玩出名堂事例，7]=105质量考核办法，所以所求数可表示为52＋105m，

m是自然数，当m=10时，52＋105×10=1102即为所求．

例6如图18—1，图中是一个按一定规律排列的数表，将自然数的所有奇数排成A、B、C、D、E、

F六列，问1997出现在哪一列打头字母下？

ABCDEF

13579

---来源网络我们的课余生活，仅供分享学习2/3

41…………

图18—1分析：从数表中可以看出手握手，每两排共10个数为一个循环周期．1997是第（1997＋1）÷

2=999个奇数．凡被10除余1或9在B列，被10除余2或8在C列，被10除余3或7在D列小小动物园，被

10除余4或6在E列，被10除余5在F列，被10整除在A列．这样很容易求出第999个奇数除以

10的余数，从而得到1997在哪一列．

解：因为每两排共10个数为一个循环周期，1997是第（1997+1）÷2=999个奇数，又999÷10=99…

9最有哲理的一句话，所以1997在B列．

---来源网络作文开学第一周，仅供分享学习3/3