切线曲面

简介

如图所示，直母线切一空间曲导线AB于点A，直母线连续运动到素线I B位置，切空间曲导线AB于点I，直母线如此连续运动，并始终保持与曲导线相切所形成的曲面。

切线曲面

切线曲面定理

定理1

曲线 的切线曲面上的渐近线为直线或平面曲线

证明：曲面的第二基本形式

由上式知，或或。

若，则s为常数，v可取任意值，代表的是v—曲线即直母线；若代表所给的曲线是直线；若代表所给的曲线是平面曲线。

定理2

曲线的切线曲面的曲率线为直线或平面曲线。

证明：切线曲面的主方向满足下面的式子化简得：

上式若成立，则下列四种情况：

（1）

（2）

（3）

（4）

其中至少一种是成立的。

若，则曲线是直线; 若，则曲线是平面曲线; 若，代表的曲线是曲面的直母线; 若，即，同样代表一条直线。

定理3

曲线的切线曲面上的腰曲线为曲线本身。

定理4

Bertrand曲线的切线曲面的曲率线为圆。

证明：根据引理1，Bertrand曲线满足，定理2中的四种情况可分为两类: (1); (2)，根据曲率和挠率之间的关系，若，则可得。不满足上述关系式; 若，则k为非零常数，k为非零常数的平面曲线为圆，故Bertrand曲线的切线曲面的曲率线为圆。

定理5

两条达布曲线对的切线曲面在对应点处直母线成固定角。

证明 记两条曲线分别为和，对应 的 切 线 曲 面 分 别 为：；对应点处考虑直母线，则s为常数。对v求导得，则切线曲面在对应点处直母线成固定角。则切线曲面在对应点处直母线成固定角。

定理6

Bertrand曲线的切线曲面的的极小轨迹为圆。

证明：由知， ，即或。

对Bertrand曲线有 代入有两种可能：

（1）时，τ为常数，这种情况不可能存在；

（2）时，k为常数，即表明所求轨迹为圆。

定理7

Mannheim曲线的切线曲面的的极小轨迹为直线或圆。

证明：由知，，即或。

对Mannheim曲线有，代入有两种可能：

（1）时，，此时表示的曲线是直线；

（2）时，或为非零常数，即所求极小轨迹为直线或圆。