可交换矩阵，满足乘法交换律的方阵

定义

满足乘法交换律的方阵称为可交换矩阵，即矩阵满足：。

条件

定理1

下面是可交换矩阵的充分条件：

(1)设至少有一个为零矩阵，则可交换;

(2)设至少有一个为单位矩阵,则可交换;

(3)设至少有一个为数量矩阵,则可交换;

(4)设均为对角矩阵，则可交换;

(5)设均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵）,且对角线上的子块均可交换，则可交换;

(6)设是的伴随矩阵，则与可交换;

(7)设可逆，则与其逆矩阵可交换;

注：的逆矩阵经过数乘变换所得到的矩阵也可以与进行交换。

(8)可与交换。这一点由矩阵乘法的结合律证明。

定理2

(1)设,其中为非零实数，则可交换;

(2)设其中为正整数,为非零实数，则可交换.

定理3

(1)设可逆，若或或,则可交换;

(2)设均可逆,若对任意实数,均有,则可交换.

充要条件

定理4

下列均是可交换的充要条件:

(1)

(2);

(3);

(4)

定理5

可逆矩阵可交换的充要条件是：

(

定理6

(1)设均为(反)对称矩阵,则可交换的充要条件是为对称矩阵;

(2)设有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵，则可交换的充要条件是为反对称矩阵.

性质

性质1

设可交换，则有:

(1)其中都是正整数;

(2),其中是的多项式，即与的多项式可交换;

(3)

(4)(矩阵二项式定理)

性质2

设可交换,

(1)若均为对合矩阵，则也为对合矩阵;

(2)若均为幂等矩阵,则,也为幂等矩阵;

(3)若均为幂幺矩阵，则也为幂幺矩阵;

(4)若均为幂零矩阵，则均为幂零矩阵.

性质3

若可交换，则可同时上三角化。