直角三角形斜边中线定理，数学中关于直角三角形的定理

定理内容

定理：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形 斜边的中线等于斜边的一半。

逆命题

其逆命题1：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。

原命题2：如果CD是直角三角形ABC斜边AB上的中线，那么它等于AB的一半。

逆命题2：如果线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点，另一端D在斜边AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC的中线。

逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角三角形三边长分别为AB=3，BC=4，AC=5。斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=（3*4）/5=2.4,在线段AE上上必能找到一点D，使BD=2.5，但BD并不是AC边的中线，因为AC边的中点在线段EC上。

直角三角形斜边中线定理

逆命题3：若直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线等于该点分斜边所得两条线段中任意一条时，该点为斜边中点。几何描述：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上一点。若CD=AD或CD=BD，则D是AB中点。

逆命题3成立，CD=AD则∠A=∠ACD，而∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，因此∠BCD=∠B。等角对等边，有CD=DB，所以AD=BD，即D是斜边中点。

证法

证法1：

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D

∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C与C’在直线AC上

又∵C与C’在直线BD上，AC与BD相交

∴C与C’重合（也可用垂直公理证明：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理

证法2：

ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE

∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线

∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）

∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）

∴DE⊥AB

∴DE是AB的垂直平分线

∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

∴AD=CB/2

证法3：运用向量证明

已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线。求证BC=2AD

证明：设向量AC= b，向量AB= c，向量BC= a，向量AD= d

∵AD是BC的中线

∴ c+ b=2 d

∴（ c+ b）²=4 d²

展开括号，得| c|²+2 c· b+| b|²=4| d|²

又∵ c⊥ b

∴ c· b=0，| c|²+| b|²=| a|²

∴得| a|²=4| d|²

开方得| a|=2| d|，即BC=2AD

证法4：运用矩形的性质证明

延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE

∵BD=CD，∠BAC=90°

∴四边形ABEC是矩形

∴BC=AE=2AD

证法5：解析几何证明

以A为原点，AC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，并设C（2c,0），B（0，2b），那么D（c，b）

|AD|=根号下C²+B²

|BC|=根号下（2C）²+（2B）² =2根号下C²+B² =2|AD|

证法6：圆

作Rt△ABC外接圆

∵∠BAC=90°

∴AB是直径（90°的圆周角所对的弦是直径）

∴D是圆心，AD是半径

∴AB=2AD

证法7：余弦定理

设三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，中线为d。

∵a²+b²=c²，且d为斜边的中线，

∴对同一个角B，可得：

cosB=（a²+c²-b²）/2ac=（a²+1/4c²-d²）/ac

化简后为：a²-1/2c²+b²=2d²

∵a²+b²=c²，∴代入后可得：1/2c²=2d²，

d1=1/2c，d2=-1/2c（不合题意，舍去）

∴d=1/2c，命题得证。

证法8：反证法

假设 BD != AD

1) CD u003e AD =u003e∠CAD u003e∠DCA (三角形大边对大角）

BD u003e AD =u003e∠BAD u003e∠ABD

=u003e∠CAD+∠BAD u003e∠ABD+∠ACD

=u003e∠ABD+∠ACD u003c90°

=u003eCD u003e AD 不成立

2)同理可得 CD u003cAD 也不成立

=u003e CD =AD

逆定理1

如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且该边是斜边。

几何语言：在△ABC中，AD是中线，且BC=2AD,则∠BAC=90°。

证法1

延长AD到E，使DE=AD,连接BE,CE

∵BD=CD，AE=2AD=BC

∴四边形ABEC是矩形（∵对角线互相平分且相等）

∴∠BAC=90°

证法2

∵AD=BD=CD

∴A,B,C在以D为圆心，BD为半径的圆上

那么BC是直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角。

∴∠BAC=90°

证法3

过D作DE⊥AB,垂足为E。

∵AD=BC/2=BD

∴E是AB中点（三线合一）

∴DE∥AC（三角形中位线定理）

∴AC⊥AB,即∠BAC=90°

证法4

向量证明

设向量AD= d，向量AB= c，向量AC= b，向量BC= a

∵AD是中线

∴ b+ c=2 d

两边平方，去括号得

| b|²+2 b· c+| c|²=4| d|²

又∵| a|=2| d|

∴| a|²=4| d|²=| b|²+2 b· c+| c|²~~~①

而 a= b- c

两边平方，去括号得

| a|²=| b|²-2 b· c+| c|²~~~②

联立①和②解得 b· c=0

∴ b⊥ c，即∠BAC=90°

证法5

解析几何证明

以D为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系。设B（-d，0），C（d，0），A（a，b），其中du003e0且b≠0

∵|AD|=|CD|

∴d= 根号下A²+B²，即 D²=A²+B²

KAB=b/（a+d），KAC =b/（a-d）

KAB*KAC=b²/（a²-d²）=b²/（-b²）=-1

∴AB⊥AC,即∠BAC=90°

注意a≠d，若a=d则表示A和C的横坐标相同，即AC⊥x轴，这样就有了Rt∠ACB。而直角边BC边上的中线AD是不可能等于直角边BC的一半的。∴a≠d，AC斜率存在。

逆定理2

如果直角三角形斜边上一点与直角顶点的连线与该点分斜边所得两条线段中任意一条相等，那么该点为斜边中点。

几何语言：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，且AD=CD（或BD=CD），则AD=BD。

下面只证明当AD=CD时的情况，BD=CD只需要改字母即可。

证法1

在Rt△ABC中，∠ACB=90°

∵AD=CD

∴∠A=∠ACD（等边对等角）

∵∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余），∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°

∴∠B=∠BCD（等角的余角相等）

∴BD=CD（等角对等边）

∴AD=BD（等量代换）

证法2

作DE⊥AC，垂足为E

∵AD=CD

∴E是AC中点（三线合一）

∵BC⊥AC

∴DE∥BC

∴D是AB中点（三角形中位线定理逆定理，或平行线等分线段定理的推论）

证法3

延长CD到E，使DE=CD，连接AE

则AD=CD=CE/2

由逆定理1可知∠CAE=90°

∵∠ACB=90°

∴AE∥BC

∴∠AED=∠BCD

∵∠ADE=∠BDC，DE=CD

∴△ADE≌△BDC（ASA）

∴AD=BD

证法4

解析几何证明：

以C为原点，CB、CA为坐标轴建系，设B（b,0）、A（0,a）

又设AD/DB=t，tu003e0，由定比分点坐标公式得

D(TB/1+T * A/1+T)

∵|CD|=|AD|

由两点间距离公式，有根号下（TB/1+T）²+（A/1+T）²=根号下（TB/1+T）²+[（A/1+t）-A}²

整理得A²/（1+t）²=a²t²/（1+t）²

∴1=t²，t=1

即AD=DB

证法5

余弦定理证明：

设两个锐角A，B所对的直角边为a，b，斜边为c，AD=CD=d。

∴对同一个角A，有：

cosA=（c²+b²-a²）/2bc=（1/4c²+b²-d²）/bc

∴（c²+b²-a²）=2×（1/4c²+b²-d²）

化简后得：1/2c²=b²+a²-2d²。

∵a²+b²=c²，∴1/2c²=2d²，d=1/2c（d=-1/2c舍去，不合题意）

∴AD=CD=1/2c，BD=AC-AD=c-1/2c=1/2c=AD=CD。

证法6

设 三角形的两个直角边长度分别为 a ，b，将三角形ABC 顶点A放置，AC在+Y 轴线 AB在+x轴

直角边AC对应的复数为 ai 直角边 BC对应的复数为b

斜边BC 对应的复数为z1=-b+ai, BC中点D ，BD的复数为做z2=1/2 *z1=-b/2+ai/2

AD 对应的复数为 z2-A =-b/2+ai/2-ai=-b/2-ai/2 显然 |z2-A| =|z1|/2 所以中线等于斜边的一半