直角三棱柱

正文

性质

性质1

已知：在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直。

求证：△VAB、△VBC、△VCA的面积分别是它们在面ABC内的射影的面积和△ABC的面积的比例中项：

证明：作，垂足是H，连AH、BH，则△HAB是△VAB在面ABC内的射影，连CH并延长之交AB于D，连VD．

，

，

．

由三垂线定理的逆定理得，

又由三垂线定理得．

．

在Rt△VCD中，由射影定理得，

性质2

在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直，那么它的四个面互相平行。

性质3

在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直．

若VA、VB、VC与面ABC所成的角分别是α、β、γ，则

；

略证：(1)作，垂足是H，连AH并延长之交BC于E，连VE，则就是VA与面ABC所成的角，故．仿性质1的证明可得

，

根据性质2得

由知是面VBC与面ABC所成二面角的平面

性质4

在三棱锥V－ABC中，VA、VB、VC两两垂直且其长度分别为a、b、c，那么，

(1)这个三棱锥的外接球的半径为

(2)这个三棱锥的内切球的半径为