小数部分函数，特殊的数论函数

基本介绍

取整函数

设，定义函数表示不超过的最大整数，称之为取整函数，取整函数也称高斯函数。例如：在数轴(箭头向右)上，是在点或其左侧的第一个整数点，当是整数时就是，图像如图1   。

图1 取整函数小数部分函数

设，定义函数 为

称之为小数部分函数，它表示的是 的小数部分。图像如图2   。

图2任意实数都能写成整数与非负纯小数之和，即任意，

而且

取整函数和小数部分函数是最简单的数论函数。

相关性质

性质1，若 ，则 。

性质2 ，有

性质3，有

并且两个等号不可能同时成立。

性质4

性质5 ，有

性质6若n为整数，则

性质7性质8n为自然数，则

对于取整函数，还有如下定理。

定理1设为两个正整数，则在中能被b整除的数的个数k为。

定理2 设b是一个正整数，则任意整数必能表示为

定理3设是任意正整数，若 ，则

定理4设，在的标准分解式中，素数p的指(次)数为

初等函数

(1)基本初等函数，共有6类，它们是：①常数函数 ；②幂函数；③指数函数；④对数函数；⑤三角函数(正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数)；⑥反三角函数(反正弦函数，反余弦函数，反正切函数，反余切函数)。

(2)初等函数：凡由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的函数都称为初等函数。

非初等函数

常见的非初等函数如下：符号函数，整数部分函数，小数部分函数，狄利克莱(Dirichlet)函数 ，黎曼(Riemann)函数 。一般而言，分段函数是非初等函数。