哈格定理

基本介绍

哈格定理是关于点共圆的三个定理：设H是△ABC的垂心；X，Y，Z分别是BC，CA，AB上的点，并假设AX，BY，CZ三线共点于R(如图1)。

图11.若直径为BC，CA，AB的圆分别与直径为AX，BY，CZ的圆相交，则诸交点共圆或共线。如图中以BC，AX为直径的两圆交于L，M两点；以AC，BY为直径的两圆交于N，O两点；以AB，CZ为直径的两圆交于P，Q两点，则L，M，N，O，P，Q六点共圆。

2.过点H所引AX，BY，CZ的垂线分别与直径为BC，CA，AB的圆相交，则诸交点共圆。

3.过点H所引AX，BY，CZ的垂线分别与直径为AX，BY，CZ的圆相交，则诸交点共圆。

哈格定理的证明

设H是△ABC的垂心，P是任意点，联结AP，BP，CP交⊙ABC于A'，B'，C'，命这三点分别关于BC，CA，AB的对称点为A₂，B₂，C₂，又联结A₂P，B₂P，C₂P分别交AH，BH，CH于A₁，B₁，C₁，求证：A₁，B₁，C₁，A₂，B₂，C₂，H七点共圆。

图2证明 如图，因为

哈格定理又

哈格定理所以

哈格定理因为

哈格定理有△PBC∽△PCB，所以

哈格定理同理

哈格定理又

哈格定理哈格定理

从（1），（2），（3），（4），（5）可知：多边形ABCA'B'C'与多边形A₁B₁C₁A₂B₂C₂相似，因此且A₁B₁C₁A₂B₂C₂有外接圆。

所以B₁，A₁，C₁，H四点共圆且A₁，B₁，C₁，A₂，B₂，C₂六点共圆，故A₁，B₁，C₁，A₂，B₂，C₂，H七点共圆。