典范乘积

基本介绍

典范乘积是对应于非零序列的外尔斯特拉斯基本因式构成的无穷乘积，设有序列

，是使

收敛的最小非负整数，称

为序列的典范乘积，这里是外尔斯特拉斯基本因式。

相关分析

定理1存在一个具有任意规定的零点的整函数，只要在零点为无穷多的情形下，，.除这些零点之外别无其他零点的任意整函数可以表示成如下形式：

其中，乘积是对所有的取的，为某些整数，为一个整函数。

这一定理是由魏尔斯特拉斯提出的，它具有如下一条重要的推论：

推论 在整个平面上的任意亚纯函数必是两个整函数之商。

这是因为，如果设在整个平面上是亚纯的，则可求得一个整函数，以的极点作为该函数的零点，于是积是一个整函数，记为，即得，

在表示式(1)中，如果能选择所有的互等，则该表示式就更为重要，上面的证明表明，只要级数对所有的R收敛，也就是说，只要，则无穷乘积

收敛，而且表示一个整函数。设为使上述级数收敛的最小整数；于是表达式(2)就称为与序列相关的 典范乘积，称为典型乘积的 亏格。

在表示式(1)中，只要可能的话，我们总应用典范乘积，因此这一表示式是惟一确定的，如果在这一表示式中，化为一个多项式，则称函数是有穷亏格的，而根据定义，的亏格就等于这个多项式的次数或典范乘积的亏格二者之中较大的数。

例如，亏格等于零的整函数具有下列形式

且，亏格为1的整函数的典范表示或者为

其中，；或者为

其中。

定理2 阿达马因子分解定理(Hadamard factorization theorem)是有穷级整函数的一种表示式。若函数是有穷级整函数，其级为ρ，则

其中是的零点的典范乘积，是次数不超过ρ的多项式，m是在原点的零点的级。