向量积，在向量空间中向量的二元运算

基本概念

表示方法

两个向量a和b的叉积写作（有时也被写成，避免和字母x混淆）。

定义

向量积可以被定义为：模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)，它位于这两个矢量所定义的平面上。）

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

也可以这样定义（等效）：

向量积

即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。

而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。

*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。

坐标运算

设 , )。i，j，k分别是X，Y，Z轴方向的单位向量，则：

为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成

证明

为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

i,j,k满足以下特点：

；

；(0是指0向量）

由此可知，i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是。

对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示：

；

；

那么

由于上面的i,j,k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为

。

与数量积的区别

注：向量积≠向量的积（向量的积一般指点乘）

一定要清晰地区分开向量积（矢积）与数量积（标积）。见下表。

性质

几何意义及其运用

叉积的长度可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

代数规则

1.反交换律：

2.加法的分配律：

3.与标量乘法兼容：

4.不满足结合律，但满足雅可比恒等式：

5.分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

6.两个非零向量a和b平行，当且仅当。

拉格朗日公式

这是一个著名的公式，而且非常有用：

证明过程如下：

二重向量叉乘化简公式及证明

可以简单地记成。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。

另一个有用的拉格朗日恒等式是：

这是一个在四元数代数中范数乘法的特殊情形。

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

；

；

；

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

；

；

则。

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量表示成四元数，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参看四元数（空间旋转）。

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

双线性性：；

反交换律：；

同时与x和y垂直：；

拉格朗日恒等式：；

不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：。

应用

在物理学光学和计算机图形学中，叉积被用于求物体光照相关问题。

求解光照的核心在于求出物体表面法线，而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点)，就可依靠叉积求得法线。