秩，线性代数术语

可替代的定义

矩阵的秩

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用行列式定义

设矩阵中有一个阶非零子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于0，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记为.并规定零矩阵的秩等于0。

用线性映射定义

考虑线性映射：

对于每个矩阵，都是一个线性映射，同时，对每个的线性映射，都存在矩阵使得。也就是说，映射

是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩序还可定义为的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵A称为fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于的像的维度。

向量组的秩

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用最大无关组定义

设有向量组，若能在中选出个向量，满足

(i)向量组线性无关；

(ii)向量组中任意个向量（如果有的话）都线性相关，

那么称向量组是向量组的一个最大无关组，其所含向量个数称为向量组的秩，记为.

用线性空间定义

在一个线性空间中，一个向量组秩序表示的是其生成的子空间的维度。考虑矩阵，将的秩定义为向量组的秩，则可以看到如此定义的的秩就是矩阵的线性无关纵列的极大数目，即的列空间的维度(列空间是由的纵列生成的的子空间)。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义的秩为的行空间的维度。

性质

矩阵法的性质

(1);

(2);

(3)若，则；

(4)若可逆，则；

(5)当且仅当存在可逆矩阵使得(其中表示阶单位矩阵)时，；

(6)若为方阵(即)，则与可逆等价；

(7);

(8);

(9),

推广到多个矩阵的情况，即；

(10)若，则;

考虑域上的矩阵，其描述的线性映射记为：

(1)当且仅当(即矩阵列满秩序列时，是单射；

(2)当且仅当(即矩阵行满秩)时，是满射；

(3)矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（即秩-零化度定理）。

向量组的秩的性质

(1)矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于他的行向量组的秩；

(2)向量能由向量组线性表示的充要条件是;

(3)向量组能由向量组线性表示的充要条件是

(4)若向量组能由向量组线性表示，则;

(5)向量组线性相关的充要条件是，其线性无关的充要条件是;

计算

计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的A的行梯阵形式有同A一样的秩，它的秩就是非零行的数目。

例如考虑 4 × 4 矩阵

我们看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍，而第 4 纵列等于第 1 和第 3 纵列的总和。第1 和第 3 纵列是线性无关的，所以A的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式：

它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解(SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自 SVD 的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

应用

解线性方程组

记线性方程组的系数矩阵为，增广矩阵为，则

(i)，方程组有惟一解；

(ii)，方程组有无穷解；

(iii)，方程组无解。

判断向量组的线性相关性

参见“性质”一节。

其它

在解析几何中，矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系；

在控制论中，矩阵的秩序可以用来确定线性系统是否为可控制的（或可观察的）。