笛卡尔乘积，数学几何概念

背景

笛卡尔1596年3月31日生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之家，笛卡尔的父亲是布列塔尼地方议会的议员，同时也是地方法院的法官，笛卡尔在豪华的生活中无忧无虑地度过了童年。

笛卡尔1612年到普瓦捷大学攻读法学，四年后获博士学位。1616年笛卡尔结束学业后，便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路。他投笔从戎，想借机游历欧洲，开阔眼界。

在荷兰长达20多年的时间里，笛卡尔对哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域进行了深入的研究，并通过数学家梅森神父与欧洲主要学者保持密切联系。他的主要著作几乎都是在荷兰完成的  。

1628年，笛卡尔写出《指导哲理之原则》，1634年完成了以哥白尼学说为基础的《论世界》。书中总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的一些看法。1637年，笛卡尔用法文写成三篇论文《折光学》、《气象学》和《几何学》，并为此写了一篇序言《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》，哲学史上简称为《方法论》，6月8日在莱顿匿名出版。1641年出版了《形而上学的沉思》，1644年又出版了《哲学原理》等重要著作。

1649年冬，笛卡尔应瑞典女王克里斯蒂安的邀请，来到了斯德哥尔摩，任宫廷哲学家，为瑞典女王授课。由于他身体孱弱，不能适应那里的气候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝。终年54岁。1799年法国大革命后，笛卡尔的骨灰被送到了法国历史博物馆  。

定义

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，记作.笛卡尔乘积

笛卡尔积的符号化为：

例如，，则

运算性质

1.对任意集合A，根据定义有

2.一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即

3.笛卡尔积运算不满足结合律，即

4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即

相关案例

给出三个域：

D1=SUPERVISOR ={ 张清玫，刘逸 }

D2=SPECIALITY={计算机专业，信息专业}

D3=POSTGRADUATE={李勇，刘晨，王敏}

则D1，D2，D3的笛卡尔积为D：

{（张清玫，计算机专业，李勇），（张清玫，计算机专业，刘晨），

（张清玫，计算机专业，王敏），（张清玫，信息专业，李勇），

（张清玫，信息专业，刘晨），（张清玫，信息专业，王敏），

（刘逸，计算机专业，李勇），（刘逸，计算机专业，刘晨），

（刘逸，计算机专业，王敏），（刘逸，信息专业，李勇），

（刘逸，信息专业，刘晨），（刘逸，信息专业，王敏） }

这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合，形成庞大的集合群。

本个例子中的D中就会有2X2X3个元素，如果一个集合有1000个元素，有这样3个集合，他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集，那么新的集合就将是有无限个元素。

程序代码

C#源代码

using System;

using System.Collections;

using System.Collections.Generic;

using System.Text;

using System.Linq;

public class Descartes

{

public static void run(Listu003e dimvalue, List result, int layer, string curstring)

{

if (layer u003c dimvalue.Count - 1)

{

if (dimvalue[layer].Count == 0)

run(dimvalue, result, layer + 1, curstring);

el

{

for (int i = 0; i u003c dimvalue[layer].Count; i++)

{

StringBuilder s1 = new StringBuilder();

s1.Append(curstring);

s1.Append(dimvalue[layer][i]);

run(dimvalue, result, layer + 1, s1.ToString());

}

}

}

el if (layer == dimvalue.Count - 1)

{

if (dimvalue[layer].Count == 0) result.Add(curstring);

el

{

for (int i = 0; i u003c dimvalue[layer].Count; i++)

{

result.Add(curstring + dimvalue[layer][i]);

}

}

}

}

}

程序使用说明

（1）将每个维度的集合的元素视为List,多个集合构成Listu003e dimvalue作为输入

（2）将多维笛卡尔乘积的结果放到List result之中作为输出

（3）int layer, string curstring只是两个中间过程的参数携带变量

（4）程序采用递归调用，起始调用示例如下：

List result = new List();

Descartes.run(dimvalue, result, 0, );

即可获得多维笛卡尔乘积的结果。