合数公式

定义

本文通过研究合数，总结出10个可以产生全部合数的公式。这些公式能够产生我们知道的所有合数。故称合数公式。

本文只研究个位为1、3、7、9四类数字，2和5及其它们的倍数不在研究之列。

性质

要想使两个自然数相乘结果的个位为3，只有两种组合，个位数字应分别是1、3或7、9。如1 * 3 = 3；7 * 9 =63。其他的组合不可能产生个位为3的自然数。

按照个位分类，合数公式（均去掉了个位数字）可以分为4类，具体如下：

第一类：个位为1：(10i+1)k+i; (10i+3)k+7i+2; (10i+9)k+9i+8；

第二类：个位为3：(10i+3)k+i; (10i+7)k+9i+6；

第三类：个位为7：(10i+7)k+i; (10i+3)k+9i+2；

第四类：个位为9：(10i+9)k+i; (10i+3)k+3i; (10i+7)k+7i+4；

证明：

自然数（10i+3）与自然数（10k+1）相乘

(10i+3)(10K+1)

=100ik+30k+10i+3

=10(10i+3)k+10i+3

10(10i+3)k+10i+3这就是一个个位为3的合数公式，若是去掉个位数字后该合数公式会变得非常简洁，而且以后研究中去掉个位后更容易分析。去掉个位数字后得到公式：

(10i+3)k +i

同样可以证明其他9组合数公式。

应用

合数公式是二元的，我们可以将一元固定，形成多个公式。如个位为3的合数公式 (10i+3)k+i，按i值固定展开如下形式：

i=0：（10*0+3）k+0；简化为3k; 计算结果为:3、6、9…

i=1： (10*1+3)k+1；简化为13k+1;计算结果为14、27、40…

以此类推可以继续得到 23k+2、33k+3、43k+4 等等公式。这里每一个公式计算出的数据组成了一个含有无限数列项的等差数列。所有第二类个位为3的合数公式计算出的这些等差数列的数列项构成了全体个位为3的合数。

通过第二类个位为3的合数公式，得到个位为3的合数后，就为筛选个位为3的素数提供了可能。同样也可以利用其他3类合数公式筛选个位为1、7、9的素数。

若利用第一类个位为1的合数公式和第二类个位为3的合数公式共同筛选，则可以筛选出首位数字个位为1的孪生素数。如这两类合数公式共同筛选出的自然数100以内的数字是1、4、7，则表示本别加上个位后11-13；41-43；71-73是三对孪生素数。

哥德巴赫猜想(Su Bin)：(x-4)^2=3*（Na+Nb）^2+2*Na*Nb*(x-1)。设(x-4)^2=x,则x=(9+√17)/2.所以x=3*(Na+Nb)^2+(7+√17)*Na*Nb