分离重因式法

基本介绍

设 是f(x)的标准分解式，且其中不可约因式的最高重数。令为的一切i重因式之积，若中没有j重因式，就令。于是由的标准分解式得:

按以下的方法，可以具体地求出，令

，

………………………………………

则

，

………………………………………

于是

,

这种按以上方法和步骤求出F(x)的方法，称为 分离重因式法，亦称 重因式的分离。

相关定理

定理1 若不可约多项式的k重因式，则它是的重因式。特别地，的单因式不是的因式。

此定理的逆命题不成立。

定理 次数大于0的多项式没有重因式的充分必要条件是互素。

证明 设是一个次多项式，其典型分解式为：

由定理1有

此处不能被任何整除，由求最大公因式的方法，得

因此，若没有重因式，亦即，从而互素，反之，若互素，必有，则没有重因式．

此定理给出了判断一个多项式有无重因式的实际方法，即通过辗转相除法便可解决。

由于多项式的导数以及两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，所以一个多项式有无重因式，也不会因数域的扩大而改变。

如果有重因式，则，由(1)与(2)可以看出，用 去除所得商式为

是一个没有重因式的多项式，且它与有完全相同的不可约因式。这种去掉因式重数的方法称为分离重因式法，由于次数低于的次数，所以的不可约

因式可能比较容易求出，如果已经知道的一个不可约因式，那么决定它在中的重数并不难，只要应用带余除法就可以计算出来，此方法既然可以求出重因式，故在某些情况下，可以用来分解因式。