顶点式，二次函数的图像

解释

在二次函数的图像上

顶点式：, 抛物线的顶点P（h,k）

顶点坐标：对于一般二次函数 其顶点坐标为

顶点式

推导

一般式

提出a得

配方得

令 则

所以顶点坐标为

考点扫描

1．会用描点法画出二次函数的图象。

2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置。

3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式。

4. 将一般式化为顶点式。

讲解

概念

1．二次函数，，(各式中，)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

;

;

;

;

顶点坐标(0，0)，(h，0)，(h，k),

对 称 轴，，,

当时，;的图象可由抛物线向右平行移动h个单位得到，

当时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当时，将抛物线;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到的图象；

当时，将抛物线;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到的图象；

当时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到的图象；

当时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到的图象；

因此，研究抛物线的图象，通过配方，将一般式化为的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线的图象：当时，开口向上，当时开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是．

3．抛物线，若，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．若，当被时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小．

4．抛物线的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当，图象与x轴交于两点和，其中的是一元二次方程

(a≠0)的两根．

（3）当．图象与x轴只有一个交点；

（4）当．图象与x轴没有交点．当时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有；

当时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有．

5．抛物线的最值：

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

抛物线字母和抛物线的关系

1.抛物线的一般式:

顶点式

2.抛物线化成顶点式为

顶点坐标为)

对称轴为

最值为

3.时开口向上

时开口向下.

相同，则形状相同

越大，则开口小

越小，则开口大.

4.时，抛物线有最低点，有最小值

时, 抛物线有最高点，有最大值.

5.时

在对称轴左侧，y随x的增大而 减小

在对称轴右侧，y随x的增大而增大

时

在对称轴左侧，y随x的增大而增大

在对称轴右侧，y随x的增大而减小

6.判断抛物线与y轴的交点的位置由 c决定

①当时抛物线与y轴相交于正半轴上

②当时抛物线与y轴相交于原点

③当时抛物线与y轴相交于负半轴上

7.抛物线与x轴交点的个数由 △ 决定

当 时，抛物线与x轴有2个交点；

当时，抛物线与x轴只有1个交点，即顶点在 x 轴上；

当时，抛物线于x轴总有交点；

当时，抛物线与x轴没有交点。