加法，基本的四则运算之一

简介

加法（通常用加号“+”表示）是算术的四个基本操作之一，其余的是减法，乘法和除法。例如，在下面的图片中，共有三个苹果和两个苹果的组合，共计五个苹果。该观察结果等同于数学表达式“”，即“3加2等于5”。

除了计算水果，也可以计算其他物理对象。使用系统泛化，也可以在更抽象的数量上定义加法，例如整数，有理数，实数和复数以及其他抽象对象，如向量和矩阵。

在算术中，已经设计了涉及分数和负数的加法规则。

加法有几个重要的属性。它是可交换的，这意味着顺序并不重要，它又是相互关联的，这意味着当添加两个以上的数字时，执行加法的顺序并不重要。重复加1与计数相同；加0不改变结果。加法还遵循相关操作（如减法和乘法）。

加法是最简单的数字任务之一。最基本的加法：，可以由五个月的婴儿，甚至其他动物物种进行计算。在小学教育中，学生被教导在十进制系统中进行数字的叠加计算，从一位的数字开始，逐步解决更难的数字计算。

符号和术语

加法用术语之间的加号“+”编写；结果用等号表示。例如，

还有一些情况，即使没有符号出现，

一个数字紧随其后的一个分数表示混合数。例如，

这个符号可能会引起争议，因为在大多数其他语境中，两个数字放在一起表示乘法。

一系列相关数字的总和可以通过σ符号表示，表示迭代。例如，

在一般加法中的数字被统称为加数，结果称为总和；加法就是把这么多的加数都转移到总和中去。这与要倍增的因素区分开来。事实上，在文艺复兴时期，很多作者根本没有考虑到第一个加号。今天，由于加成的交换财产，“加农”很少使用，而这两个术语通常称为加数。

所有上述术语来自拉丁语。 “添加”和“添加”是从拉丁语动词addere得出的英文单词，反过来又是“原” - 欧洲根* deh3“给”的“ad”和“; 因此补充是给予。使用gerundive后缀-nd导致“addend”，“要添加的东西”。同样地，从“增加”来看，一个是“加强”，“增加的东西”。

“Sum”和“summand”来自拉丁语名词“最高，最高”和相关词汇。因为古希腊和罗马人常常向上增加的趋势，这与现代的下降做法相反，使得一个数字高于加数。加号“”是拉丁语“et”的缩写，意为“和”。它出现在可追溯到至少1489年的数学作品中。

解读

加法已经被用于建立了无数的物理过程。即使添加自然数的简单情况，也有许多可能的解释和更多的视觉表现。

组合

可能最基本的加法解释在于组合：

当两个或多个不相交的集合被组合成单个集合时，单个集合中的对象数量是原始集合中对象数量的总和。

这种解释很容易可视化。它也适用于高等数学；对于它激发的严格定义，请参见下面的自然数字。

一个可能的解决方案是考虑可以容易地分割的对象的集合，例如馅饼。杆不仅可以组成棒的集合，还可以将杆连接在一起，这又说明了加法的另一个概念：不添加棒，而是添加杆的长度。

延长一段长度

对加法的第二个解释来自于将初始长度延长给定长度：

当原始长度延长给定量时，最终长度是原始长度和延伸长度之和。

性质

一般来说，在一个集合F上定义一个二元关系“+”，满足：

Ⅰ 交换律：对任意的 ；

Ⅱ 结合律：对任意的；

Ⅲ 单位元：存在一个元素 ，满足对任意的 ；

Ⅳ 逆元：对任意的 ，存在一个元素 ，满足。

“”称作定义在集合F上的加法。

“ ”是加号，加号前面和后面的数是加数，“”是等于号，等于号后面的数是和。

加法交换律

例：

加法结合律

例：

相关运算法则

实数

同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，取绝对值最大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

任何数加0仍得原数。

复数

，(其中 ，为虚数单位)

向量

加法本质

是完全一致的事物也就是同类事物的重复或累计，是数字运算的开始，不同类比如其结果只能等于二个水果就存在分类与归类的关系。减法是加法的逆运算；乘法是加法的特殊形式；除法是乘法的逆运算；乘方是乘法的简便形式；开方是乘方的逆运算；对数是在乘方的各项中寻找规律；由对数而发展出导数；然后是微分和积分。数字运算的发展，是更特殊的情况，更高度重复下的规律。

推广

有许多二进制操作可以被视为对实数的加法运算的概括。抽象代数领域集中关注这种广义的运算，它们也出现在集合理论和类别理论中。

抽象代数

矢量加法：

在线性代数中，向量空间是一个代数结构，允许添加任何两个向量和缩放向量。一个熟悉的向量空间是所有有序的实数对的集合；有序对（a，b）被解释为从欧几里德平面中的原点到平面中的点（a，b）的向量。通过添加它们各自的坐标来获得两个向量的和：这种加法是经典力学的核心，其中向量被解释为力。

矩阵加法:

为相同大小的两个矩阵定义矩阵加法。由表示的两个（发音为“m乘n”）的矩阵A和B的和是通过相加元素而计算的矩阵，例如：

理论中的加法

增加自然数的方法是在集合理论中添加序数和基数。这些给出了两个不同的概括，即自然数。与大多数加法操作不同，序数的加法是不可交换的。然而，增加基数是与不相交联合操作密切相关的交换操作。

在类别理论中，不相交加法被视为特殊情况，一般可能是所有加法概括中最为抽象的。如直接总和和楔子总和，被命名为添加的联系。