抛物线，圆锥曲线之一

简介

在数学中，抛物线是一个平面曲线，它是镜像对称的，并且当定向大致为U形（如果不同的方向，它仍然是抛物线）。它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个，这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。

抛物线的一个描述涉及一个点（焦点）和一条线（该线）。焦点并不在于准则。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面，由右圆锥形表面和平行于与锥形表面相切的另一平面的平面的交点形成。第三个描述是代数。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，并且是抛物线最锋利弯曲的点。沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。 “直肠直肠”是抛物线的平行线，并通过焦点。抛物线可以向上，向下，向左，向右或向另一个任意方向打开。任何抛物线都可以重新定位并重新定位，以适应任何其他抛物线 - 也就是说，所有抛物线都是几何相似的。

抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行（“准直”）光束，使抛物线平行于对称轴。声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。

抛物线具有许多重要的应用，从抛物面天线或抛物线麦克风到汽车前照灯反射器到设计弹道导弹。它们经常用于物理，工程和许多其他领域。

几何性质

有关切线、法线的几何性质

（1）设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q，F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线，垂足为A，那么PQ平分∠APF。

（2）过抛物线上一点P作准线的垂线PA，则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质（1）第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

（3）设抛物线上一点P的切线与法线分别交轴于A、B，则F为AB中点。

（4）设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A，交顶点O的切线于B，则FB垂直平分PA，且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影（即PM垂直于准线）。

（5）抛物线的三条切线所围成的三角形，其外接圆经过焦点。即：若AB、AC、BC都是抛物线的切线，则ABCF四点共圆。

（6）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，连接切点的弦与轴相交于A。又设P在轴上的射影为B，则O是AB中点。

（7）若抛物线与一个三角形的三条边（所在直线）都相切，则准线通过该三角形的垂心。

有关弦的几何性质

（8）焦点弦两端的切线互相垂直，并且垂足在准线上。

（9）过焦点弦的端点A、B作准线的垂线，垂足分别为M、N。设A、B处的切线相交于P，则P是MN中点，并且以AB为直径的圆切准线于P。

（10）若抛物线的两条焦点弦相等，连接这两条焦点弦的中点，则连线与轴垂直。

（11）抛物线的一条弦AB与轴相交于P（不一定是焦点F），过A、B分别作轴的垂线AM、BN，抛物线顶点为O，则OP²=AM*BN。

证明

以上性质均可以用坐标法来证明，在此以 为例给出性质（1）、（4）、（9）的证明。

（1）焦点，准线，设，则过P的切线方程为：

令，得，所以

于是，

易证二者数量积为0，因此有PF⊥QF。

要证PQ平分∠APF，可通过全等三角形的判定方法HL证明Rt△APQ≌Rt△FPQ，得到对应角∠APQ=∠FPQ即可。HL是显然的，因为根据抛物线的定义，有PF=PA，而斜边PQ是公共边，因此两个三角形全等。

根据这个性质，我们还能得出一个推论：AF被PQ垂直平分，并且四边形PAQF内接于圆，PQ为直径。

（4）根据已知条件，A在x轴上，B在y轴上。

PA方程为： ，令x和y等于0，解得

容易验证B就是AP中点

而，它们的数量积为0，因此BF⊥AP，即BF垂直平分AP。

要证PM与准线垂直，只要证M的纵坐标与P相同，都为y0即可。

容易写出直线BF： ，令，解得

故，命题得证。

（9）设

联立AB与抛物线方程，消去x得

由韦达定理，

又PA与PB都为切线，根据切线方程，

联立PA与PB的表达式可解得

而，根据中点坐标公式和韦达定理可知P是MN中点。

设AB中点为E，则E的纵坐标，与P的纵坐标相同，

因此PE∥x轴，PE⊥MN

而根据性质（8）可知PA⊥PB，即△PAB为直角三角形

所以E是△PAB的外心，所以PE是半径

根据切线的判定定理可知，MN是圆E的切线，切点为P。

切线的尺规作图

根据几何性质（2）可以得到过抛物线上一点或抛物线外一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。

（1）P在抛物线上

①过P作准线的垂线，设A为垂足

②连接PF（F是焦点）

③作∠APF的平分线PQ

则根据性质（2），直线PQ为切线

（2）P在抛物线外

①连接PF

②以P为圆心，PF为半径画弧，弧与准线分别交于A、B

③过A、B分别作准线的垂线，垂线和抛物线分别交于M、N

④连接PM、PN，则PM、PN为所求切线（有两条）

这是因为，若连接MF，则在△PAM和△PFM中

∵PA=PF（圆的定义），PM=PM（公共边），MA=MF（抛物线的定义）

∴△PAM≌△PFM（SSS）

∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的对应角相等）

∴MP平分∠AMF（角平分线的定义）

∴MP为切线（性质（2））

同理可证NP是另一条切线

发展历程

Apollonius所著的八册《圆锥曲线》（Conics）集其大成，可以说是古希腊解析几何学一个登峰造极的精擘之作。今日大家熟知的 ellip（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）这些名词，都是 Apollonius 所发明的。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演着重要的角色。

抛物线问题

标准方程

定义

抛物线[圆锥曲线之一]右开口抛物线：

抛物线[圆锥曲线之一]左开口抛物线：

抛物线[圆锥曲线之一]上开口抛物线：

抛物线[圆锥曲线之一]下开口抛物线：

抛物线[圆锥曲线之一][p为焦准距]

特点

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在抛物线 中，焦点是，准线的方程是，离心率，范围： ；

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在抛物线 中，焦点是，准线的方程是，离心率，范围： 。

四种方程

抛物线四种方程的异同

共同点：

①原点在抛物线上，离心率e均为1 ②对称轴为坐标轴；

③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4

不同点：

①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；

②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

切线方程

抛物线[圆锥曲线之一]抛物线y=2px上一点（x0，y0）处的切线方程为： 。

抛物线y=2px上过焦点斜率为k的方程为：y=k（x-p/2）。

相关参数

（对于向右开口的抛物线y=2px）

二次函数的图像是一条抛物线离心率：e=1（恒为定值，为抛物线上一点与准线的距 离以及该点与焦点的距离比）

焦点:（p/2，0）

准线方程l:x=-p/2

顶点：（0，0）

通径：2P ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦

定义域：对于抛物线y=2px，pu003e0时，定义域为x≥0，pu003c0时，定义域为x≤0；对于抛物线x=2py，定义域为R。

值域：对于抛物线y=2px，值域为R，对于抛物线x=2py，pu003e0时，值域为y≥0，pu003c0时，值域为y≤0。

术语解释

准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。

弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。

焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。

正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。

直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。

主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。

抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线。

解析式求法

以焦点在X轴上为例

知道P（x，y）

令所求为y=2px

则有y=2px

故2p=y/x

故抛物线为y=（y/x）x

现总结如下:

（1）知道抛物线过三个点（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）设抛物线方程为y=ax²+bx+c，

将各个点的坐标代进去得到一个三元一次方程组，解得a，b，c的值即得解析式。

（2）知道抛物线的与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0），并知道抛物线过某一个点（m，n），

设抛物线的方程为y=a（x-x1）（x-x2），然后将点（m，n）代入去求得二次项系数a。

（3）知道对称轴x=k，

设抛物线方程是y=a（x-k）²+b，再结合其它条件确定a，c的值。

（4）知道二次函数的最值为p，

设抛物线方程是y=a（x-k）²+p，a，k要根据其它条件确定。

光学性质

经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。

抛物线[圆锥曲线之一]抛物线[圆锥曲线之一]

证明：设P（x0，y0），PT是抛物线在P处的切线，PH⊥PT，抛物线的方程为（au003e0），焦点F坐标为（0， ）。

抛物线[圆锥曲线之一]根据抛物线的定义知

抛物线[圆锥曲线之一]又抛物线导数为

所以切线PN的斜率为2ax0，方程为y-y0=2ax0（x-x0）

抛物线[圆锥曲线之一]求点T的坐标，令x=0，联立抛物线方程得

抛物线[圆锥曲线之一]则点T坐标为（0，-y0）所以

所以PF=FT，∠FTP=∠FPT，

又∠FPT=∠MPN

所以∠FTP=∠MPN

MP平行于y轴。

光学性质

扩展公式

抛物线：y = ax+ bx + c （a≠0）

就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c；

a u003e 0时开口向上；

a u003c 0时开口向下；

c = 0时抛物线经过原点；

b = 0时抛物线对称轴为y轴。

还有顶点式y = a（x-h）+ k

h是顶点坐标的x；

k是顶点坐标的y；

一般用于求最大值与最小值。

抛物线标准方程：y=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2，0）准线方程为x=-p/2。

由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y=2px，y=-2px，x=2py，x=-2py。

二次函数图象

抛物线[圆锥曲线之一]在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由 平移得到的。

抛物线[圆锥曲线之一]二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线。

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0），是顶点的横坐标（即x=？）。

a，b同号，对称轴在y轴左侧

a，b异号，对称轴在y轴右侧

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P（h，k）。

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a（x-h）+k（a≠0）

抛物线[圆锥曲线之一]抛物线[圆锥曲线之一]

， 。

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当au003e0时，二次函数图象向上开口；当au003c0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当au003e0，与b同号时（即abu003e0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2au003c0，所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号。

当au003e0，与b异号时（即abu003c0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2au003e0，所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即abu003e0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即abu003c0 ），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

二次函数图像

相关结论

A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y=2px上，则有：

① 直线AB过焦点时，xx = p²/4 ， yy = -p²；

（当A，B在抛物线x²=2py上时，则有xx = -p² ， yy = p²/4 ，要在直线过焦点时才能成立）

② 焦点弦长：|AB| = x+x+P = 2P/[（sinθ）]=（x1+x2）/2+P；

③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））

④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；

⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；

⑥弦长公式：AB=√（1+k）*│x-x│；

⑦△=b-4ac；

⑴△=b-4acu003e0有两个实数根；

⑵△=b-4ac=0有两个一样的实数根；

⑶△=b-4acu003c0没实数根。

⑧由抛物线焦点到其切线的垂线的距离是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项；

⑨标准形式的抛物线在（x，y）点的切线是：yy=p（x+x）

（注：圆锥曲线切线方程中x²=x*x y²=y*y ，x=（x+x）/2 ， y=（y+y）/2 ）