手动开方

数值计算方式

手动开立方

设，求X，称为开立方。开立方有一个用于数值计算的公式：

例如，A=5，即求5介于1的3次方至2的3次方之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取=1.9按照公式：

第一步：=。

即，，，。即取2位数值,，即1.7。

第二步：。

即，，，。取3位数，比前面多取一位数。

第三步：.

第四步：

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

偏小，输出值自动转大。即;

当然初始值也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个，都是=1.7。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。。

手动开平方

如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即：

例如，A=5，5介于2的平方至3的平方之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。

第一步：；

即，，，，取2位数2.2。

第二步：；

即，，，。取3位数。

第三步：。

即,,,。

每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。当输入值与输出值一样，那麼就是精确值。例如：

A=94249，94249介入300平方---400平方之间。初始值可以取310，320，330，340，350，360，370，380，390，我们取中间值350为初始值。

350+（94249/350-350)1/2=310。

310+(94249/310-310)1/2=307。

307+(94249/307-307)1/2=307。

即

算法基础

本段的算法源于数值计算里的牛顿迭代法或切线法，即:，其中的指数s是2或3或其他任意的整数。

九章算术

手动开平方

算法为：

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段。

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。）

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。

4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（右例中的试商即为[152/(2×20)]=[3.8]=3。）

5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129=23），与第三段数组成新的余数（即2325）。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商。（2325/(23×20)的整数部分为5。）

7．对新试商的检验如前法。（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根。）

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。

以《九章算术》中求55225的开方为例。

实例及对应算法说明：

①将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。

5’52’25

②根据左边第一段里的数(5)，求得平方根的最高位上的数(2)。

2----------------------------------------(平方根)

③从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。

5’52’25

4

1’52-----------------------------------(第一个余数)

④把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（152为被除数，平方根乘以20为除数，得到商及相关余数）

152/(2×20)=3+相关余数-----------(3为试商)

⑤用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。（即3为平方根的第二位。）

(2×20+3)×3=129------------------(用第二步求得的的最高位数(即已得的平方根，此处为2)的20倍加上试商(此处为3)再乘以试商)

比较1‘52(余数)与1'29(比较数)大小，如果比较数小于等于余数，则试商有效，否则，试商减1，再比较。

到此，平方根的第一位2，第二位3确认。

⑥用同样的方法。

23’ 25---------------------------------(新的余数)

2325/(23×20)=5+相关余数--------(5为第三位数的试商)

(23×20+5)×5=2325 ----------------(已得的平方根，此处为23)的20倍加上相应位试商(此处为5)再乘以相应位试商)

比较23’ 25 (新的余数）与23’ 25(比较数)之间的大小，规则同上。(如果比较数小于等于余数，则试商有效，否则，试商减1，再比较。)

0 ----------------------------------------(得到0或者相应的精度为止）

于是，235即为所求。

图解为：

|5’ 52’ 25 (1)

2　 ----------------------------------------平方根第一位

|5’ 52’ 25 (2)

|4

|1’ 52 (3) ------------------------------------第一个余数

152/(2×20)=3+... ---------- 第一个试商

|1’ 52’ (4)

(2×20+3)×3=129 ----------第一个比较数

|1 52 (5)

1 29

| 23’ 25 (6) -----------------------------新的余数

2325/(23×20)=5+... ----- 新的试商

| 23’ 25 (7)

(23×20+5)×5=2325------ 新的比较数

0 (8)------------------------------------------------比较结果

《九章算术》少广章：

第十二题：今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？

答曰：二百三十五步。

开方术曰：

置积为实。借一算。步之。超一等。议所得。以一乘所借一算为法。而以除。除已。倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。以所得副从定法。复除折下如前。

若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。

手动开立方

1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；

2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；

3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；

4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；

5．把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；

6．用同样的方法，继续求立方根的其他各位上的数。对新试商的检验亦如前法。

此开立方方法主要参考：

未知作者名号。在另外一个网页中有署名“陈梓瀚”者，不知是否同一作者。本文中有改动。

以《九章算术》中求1860867立方根为例，图解说明。

|　1’ 860’ 867 (1)

1　|　1’ 860’ 867 (2)

| 1

| 860 (3)

860/(12×300)=2+... |　860 (4)

1[2]×300×2=600 |

1×30×2[2]=120 |

2[3]=8 | 860 (5)

600+120+8=728

| 132’ 867 (6)

132867/(12[2]×300)=3+... | 132’ 867 (7)

12[2]×300×3=12600 |

12×30×3[2]=3240 |

3[3]=27 | 132’ 867 (8)

12600+3240+27=132’ 867

| 0 (9)

0 (10)

于是，123即为所求。

《九章算术》少广章：

第一九题：今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？

答曰：一百二十三尺。

开立方术曰：

置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中从定法。复除，折下如前。

开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定 实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。