应用
灰色与线性回归组合模型在变形预测中的应用研究
郑伟涛 丁
２．抚州市广播电视局，江西
啸。
南昌 ３３００１３；
抚州 ３４４０００）
（１．东华理工大学测绘工程学院，江西
［摘要］ 变形监测工程是一个复杂的综合系统，各种参数具有很大的不确定性。目前变形的预测分析多采用单一的
预测方法，而各种方法都有各自的优缺点和应用范围，有时单一的预测方法对判定工程性质带来了困难。引入了组合预测
的思想，在灰色ＧＭ（１，１）模型的基础上，构建了灰色与线性回归组合模型，通过实例计算分析，证明该组合模型满足工程需
要，具有一定的使用价值。
【关键词］ 变形分析；灰色系统理论；灰色与线性回归组合模型
１．引言 父 （什１） 一｝ｅｘｐ（ａｔ）＋
目前所采用的预测模型中，都是假定：
Ａ
（５）
由于多种因素的影响，建构筑物在建设和使用的过程
中，发生一定限差范围内的沉降均被视为正常现象，但如
式中，Ｃ为积分常数，需要通过一个边界条件来确定。在
果超出限差范围，势必会对建构筑物的安全和稳定性造成
影响。所以，对这些重要建筑物进行定期监测，并且根据监
测数据对建筑物的沉降趋势做出准确的判断和预测，及时
将沉降有关的信息和变形情况提供给项目相关人员以提高
Ｘ ＝Ｘ （１）＝Ｘｏ（１） （６）
式（４）在式（５）条件下的特解为：
丈 （ｆ十１） ［ｘＤ（１）一 ］ｅｘｐ（＿ａ１）＋ｕ
辨识值ａ可由式（８）计算：
ａ＝（ａ，ｕ） ；（Ｂｑ３） ＢＴｙ
（７）
施工的效率和精度，从而为整个工程建设提供有力的技术
支持和决策依据，是表达沉降监测成果的有效方法［１Ｊ。
回归分析法、时间序列方法、灰色模型法、人工神经网
络法、遗传算法等都是预测建构筑物沉降的方法＿２Ｊ，这些方
法都有大量的成果和实例。由于影响建构筑物沉降量的因
素 多而杂，至今还没有一种预测方法能对其进行准确的
预报。用不同的预测方法得出的结果可能会相差很大，这
ｉＥａ＝（ａ，ｕ） ，
式中，ｔ＝ｌ，２，…。式（７）即为式（４）的定解。
（８）
式中，Ｂ以及Ｙ用式（９）计算：
一 ［ｘ （１）＋Ｘ （２）Ｊ １
Ｘ （２）
给实际应用中的模型选择和精度预测带来了很多不便。针
对这些实际情况，我们引入了组合预测的思想，将灰色模
型（ＧＭ（１，１））法、线性回归模型进行组合，与单一的灰色模
Ｂ＝
一 １ ＩＸ （２）十Ｘ （３）］ｌ
Ｘ （３）
ｙ＝
Ｘ （ｔ）
一 型和简单的滑动平均做出对比，得出组合模型计算较准
确，精度较高，并通过实例加以验证。
２．ＧＭ（１，１）模型原理
记原始序列为Ｘ。［４１：
ｘ ｛Ｘ。（１），Ｘ。（２），…，Ｘ。（ｎ）｝ （１）
＾
２
［ｘ （２）＋Ｘ （３）ｌ １
预测公式为：
＾ ＾
Ｘ。（ｔ＋１）＝Ｘ （ｔ＋１）一Ｘ （Ｉ）
式中，ｔ－＝Ｉ，２，…。
３．组合模型
由（４）可以将微分方程解为：
Ｘ （ｆ＋１）＝【ｘｏ（１）－ｇ２ａ］ｅｘｐ（一ａｔ）
（２）
（１０）
根据灰色系统理论对原始序列做１次累加生成后，得
到生成序列Ｘ （１１，即：
ｘ ＝｛ｘ （１），Ｘ （２），…，ｘ （ｎ）｝
（１１）
对Ｘ （ｔ＋１）求导或做累减还原，得到原始系列的预测公
式为：
Ｘｏ＝（一ａ）［ｘＵ（１）一ｏ．／ａ］ｅｘｐ（一ａｔ）
Ｘ （ｔ＋１）＝Ｃｌｅｘｐ（ｖｔ）＋Ｃ２
其中ｘ （ｔ）可用下式进行计算：
ｉ
Ｘ （ｉ）＝ ｘ０（ｔ）
ｔ＝１
（３）
（１２）
（１３）
分析微分方程的解式（１１），可以看出它的形式如下式：
用线性回归方程Ｙ＝ａＸ＋ｂ及指数方程Ｙ＝ａ・ｅｘｐ（ｐ）的和
（４）
来拟 累加生成ｘ （ｔ），因此可将生成序列写成：
（１４）
系统预测模型ＧＭ（１，１）的白化形式的微分方程表示
为：
ｄＸｌ／ｄｔ＋ａＸ ＝
对微分方程求解，得到其离散的通解为：
Ｘ （ｃ）＝Ｃ１ｅｘｐ（ｖｔ）＋Ｃ２ｔ＋Ｃ３
作者简介：郑伟涛，男，江西抚州人，硕士研究生，研究方向：地理信息系统在工程建设领域的应用。
一５３—
ｌ学术探讨应用技术与研究
＝土：＿二： ：＝ ＝：：： ．：＝： ＝＿二二＿＝： ：ｕ ： 一
ｌ ２叭２繇第５
在上式中，参数ｖ及Ｃ．，Ｃ ，Ｃ 需要确定。
ｚ（ｔ）＝Ｘ （ｔ＋１）一Ｘ （ｔ） （１５）
并设：
ｙ ｔ）＝Ｚ（ｔ＋ｍ）－Ｚ（ｔ）
＝Ｃ１ｅｘｐ ｖｔ［ｅｘｐ（Ｖｍ）～１］［ｅｘｐ（Ｖ一１）］ （１６）
同样有：
ｙ｜Ｔ（什１）＝Ｃｌｅｘｐ ｖ（ｔ＋１）［ｅｘｐ（Ｖｍ）－１］［ｅｘｐ（Ｖ－１）】 （１７）
则上面两式相比为：
ｙ￣ｆｔ＋１）／Ｙｍ＝ｅｘｐ（ｖ） （１８）
因此得到ｖ的解为：
ｖ＝ｌｎ【ｙ （ｔ十１）／ｙ （１９）
将式（１５）的ｘ 换为Ｘ ，则由式（１９）可得ｖ为近似解ｖ。
取不同的ｍ＝（１，…，ｎ一３、值可以得到不同的估值ｖ以它们
的平均值作为ｖ的估计值ｖ。
ｎ－３ ｎ一２－ｉｎ ∑∑、，（ｔ）
ｖ：—— （
ｎ－２）（ｍ一３）
上～
／２
（２０）
得出ｖ，令ｌ（ｔ）＝ｅｘｐ（ｖｔ），则式（１４）可写为：
Ｘ（ｔ）＝Ｃｌｌ（ｔ）＋Ｃ２ｔ＋Ｃ３（２１）
利用最小二乘法求得的Ｃ，，Ｃ ，Ｃ 估计值。
Ｘ （１）
Ｘ ｆ２１
Ｘ