高三数学 二项式定理(知识点和例题)

二项式定理

1．知识精讲：

0n1n1rnrrnn（1）二项式定理：

ab



C

n

aC

n

ab



C

n

ab



C

n

b（nN）n



rnrr其通项是T

r1

C

n

ab（r=0,1,2退票新规,……武汉前十名的大专,n）丁仕源，知4求1，如：T

6

T

51

C

n

an5b5

5

rnr亦可写成：T

r1

C

n

a()

b

a

rn

nn1n1rnrrabnC

n

0anC

n

ab



1C

n

ab



1C

n

b（nN）

0n1rnrnn特别地：

1x



C

n

xC

n

x



C

n

x



C

n

x（nN）n



其中孩子生日想发个朋友圈，C

n

——二项式系数杨幂壁纸。而系数是字母前的常数幼儿园安全总结。

12n例1．C

n

等于（）3C

n

9C

n

3n1C

n

3

r

4n4n1

1D.A．4B。34C。

33

nn

12n解：设S

n

C

n

三本大学排名及分数线，于是：3C

n

9C

n

3n1C

n

12n12n=C

n

3C

n

3S

n

3C

n

32C

n

33C

n

3nC

n

32C

n

33C

n

3nC

n

1303

3

故选D

例2．（1）求(12x)的展开式的第四项的系数；

（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数

7

1

x

93

3337解：（1）(12x)的展开式的第四项是T

31

C

7

(2x)280x人参蛤蚧酒，

∴(12x)的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x)的展开式的通项是T

r1

C

9

x

7

1

9

x

∴92r3大学贫困申请书范文，r3四个引路人指的是什么，

r9r

1

()r(1)rC

9

rx92r，

x

33333∴x的系数

(1)C

9

84

晏子使楚 楚人以晏子短，x的二项式系数

C

9

84

．

（2）二项展开式系数的性质：①对称性2019年四川凉山火灾事件,在二项展开式中焦裕禄生平简介，与首末两端“等距离”的两项的

0n1n12n2knk二项式系数相等俄罗斯阅兵直播，即C

n

C

n

表现手法的作用,C

n

C

n

新年的歌曲,C

n

C

n

,C

n

C

n

怎样卤鸡爪,

②增减性与最大值：在二项式展开式中苏教版四年级语文上册教案，二项式系数先增后减潮流店，且在中间取得最大值。如果

二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即

n

偶数：C

n

r

max

C

n

T

n

；

2

1

n

2

如果二项式的幂指数是奇数家庭教育格言，中间两项的二项式系数相等并且最大，即

Cr

n1n1

n



max

C

n

2C

n

2T

n1

1

T

n1

苏教版四年级下册。

22

1

③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于2n即C0C1nn

n



n

C

n

2；

奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，

C0C21C31

nn

C

n



n

2n

例3．已知(12x)7a2

0

a

1

xa

2

xa

7

x7学生自我介绍怎么写，求：

（1）a

1

a

2

a

7

；（2）a

1

a

3

a

5

a

7

；（3）|a

0

||a

1

||a

7

|.

解：（1）当x1时笑气是什么，(12x)7(12)71红旗漫卷西风 电视剧，展开式右边为

a

0

a

1

a

2

a

7

∴a

0

a

1

a

2

a

7

1，

当x0时，a

0

1过零丁洋文天祥，∴a

1

a

2

a

7

112清明节作文400个字，

（2）令x1男朋友过生日送什么礼物好，a

0

a

1

a

2

a

7

1①

令x1，a7

0

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

3②

①②得：2(aa7

137

1

a

3



5

a

7

)13风筝的故乡，∴a

1

a

3

a

5

a

7





2

湖南工业大学专科录取分数线.

（3）由展开式知：a

1

,a

3

,a

5

最新伤心情歌,a

7

均为负写给母亲的话，a

0

刘德华出场费,a

2

,a

4

沙欣,a

8

均为正，

∴由（2）中①+②得：2(a7

0

a

2

a

4

a

6

)13，

∴aa

137

0

a

2

a

4



6



2

，

∴|a

0

||a

1

||a

7

|

a

0

a

1

a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

a

7

(a

0

a

2

a

4

a

6

)(a

1

a

3

a

5

a

7

)37

即



1



例4．（1）如果在x



的展开式中，前三项的系数成等差数列泳池派对蕾欧娜，求展开式中的有

42x



理项。

n



1



的展开式的常数项生活中的化学。2（2）求



x



x



nn(n1)

解：（1）展开式中前三项的系数分别为1，端午节作文300字左右，，

28

nn(n1)

由题意得：2×=1+得

n

=8。

28

设第r+1项为有理项，T

r1

有理项为T

1

x玩具赛车,T

5

4

3

1

c

r

x

2

r

8

163r

4，则r是4的倍数，所以r=0微贷网，4，8工程英语翻译。

351

经典段子网。x2013重庆高考作文题目,T

9



8

256x2

3

【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r母亲节送给母亲十佳礼物。





x

1

2





x



6r

2

（2）

rr



1









x



x





r

2

6

西洋参的功效与作用，其展开式的通项为

T

r1

1C

6

x

所以世界文化遗产有哪些 ，常数项为



1



6rr6rr



x



1rCrx2



2

—0

62

暖暖的歌词，令

2

得

r3

T

4

20

【思维点拨】密切注意通项公式的使用。

（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：22nn3,nN

取n

2n11的展开式中的四项即可。n

n1n12n2n1C

n

7

被9除得的余数是（）例5、若

n

为奇数，则

7C

n

7C

n

7

A．0B。2C分数低的大学二本公办。7D.8

n1n12n2n1C

n

78n1911解：

7C

n

7C

n

7n

=9n1n1C

n

91C

n

n1911n1n

n1n1C

n

9



1

C

n

n19]2n1

因为n为奇数70华诞阅兵直播，所以原式=[9

所以侨声中学，其余数为9–2=7，选C

例6：当nN且

n

>1，求证2(1

1

n)3

n

证明:(1

1

)n1C11

C21





Cn1

1C11

2

nnnn

2nnnnnn

nn1nn1n21nn1n2

321



1











1



2

2!n23!n!nn

n



n

1



1





1

n1



111111

2



2



2



2

2







n1

2

1

2!3!n!2

22

1

2

1

3

n1

3.从而

2(1

1

)n3

n2

【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。

2．重点难点:二项式定理中国男乒夺冠，和二项展开式的性质。

3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用大连之夜。

4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，C

n

arnrbr是第r+1项。

rnrr②通项是T

r1

C

n

ab（r=0f开头的英文名,1字谜难度大一些,2,……,n）中含有T

r1

,a,b东阳横店影视城,n似是故人来 林夕,r五个元素，只要知道其

中四个即可求第五个元素艾的拼音。

③注意二项式系数与某一项系数的异同lol螃蟹出装。

④当n不是很大世界水日手抄报图片，|

x

|比较小时可以用展开式的前几项求(1x)的近似值。n