新人教版高中数学必修二第九章统计精品教案

随机抽样

【教学目标】

1．理解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据等概

念

2．理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随

机数法

3．理解分层随机抽样的概念，并会解决相关问题

【教学重难点】

1．抽样调查

2．简单随机抽样

3．分层随机抽样

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是

什么？

2．什么叫简单随机抽样？

3．最常用的简单随机抽样方法有哪两种？

4．抽签法是如何操作的？

5．随机数法是如何操作的？

6．什么叫分层随机抽样？

7．分层随机抽样适用于什么情况？

8．分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？

9．获取数据的途径有哪些？

二、基础知识

1．全面调查与抽样调查

（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ．

（2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个

调查对象称为个体Ｗ．

（3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据

1/23

对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ．

（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ．

（5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ．

（6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据．

2．简单随机抽样

（1）有放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n

个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的

概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样．

（2）不放回简单随机抽样

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的

概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．

（3）简单随机抽样

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．

（4）简单随机样本

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．

（5）简单随机抽样的常用方法

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．

名师点拨

（1）从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随

机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的．

（2）简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公

平性．

3．总体平均数与样本平均数

（1）总体平均数

①一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y

1

，Y

2

，…，Y

N

，则

－

Y

1

＋Y

2

＋…＋Y

N1N

称Y＝＝

Ni

∑

Y

i

为总体均值，又称总体平均数．

＝1N

②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y

1

，Y

2

，…，

Y

k

，其中Y

i

出现的频数f

i

（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数

－

1k

的形式Y＝

Ni

∑

f

i

Y

i

Ｗ．

＝1

2/23

（2）样本平均数

如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y

1

，y

2

，…，

y

1

＋y

2

＋…＋y

n1n－

y

n

，则称y＝＝

ni

∑

y

i

为样本均值，又称样本平均数．在简单随机

＝1n

－

－

抽样中，我们常用样本平均数y去估计总体平均数Y．

4．分层随机抽样

（1）分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅

属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中

抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子

总体称为层Ｗ．

（2）比例分配

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本

量的分配方式为比例分配．

5．分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数

（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体

数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n．我们用X

1

，X

2

，…，X

M

表示第

1层各个个体的变量值，用x

1

，x

2

，…，x

m

表示第1层样本的各个个体的变量值；

用Y

1

，Y

2

，…，Y

N

表示第2层各个个体的变量值，用y

1

，y

2

，…，y

n

表示第2层

－

样本的各个个体的变量值，则：①第1层的总体平均数和样本平均数分别为X＝

X

1

＋X

2

＋…＋X

M1Mx

1

＋x

2

＋…＋x

m1m－

＝

Mi

∑

X

i

，x＝＝

mi

∑

x

i

．

＝1＝1Mm

－

Y

1

＋Y

2

＋…＋Y

N1N－

②第2层的总体平均数和样本平均数分别为Y＝＝∑

Y，y

iNNi＝1

y

1

＋y

2

＋…＋y

n1n

＝＝

ni

∑

y

i

．

＝1n

∑

X＋∑Y

∑

x＋∑y

－i＝1

i

i＝1

i－i＝1

i

i＝1

i

③总体平均数和样本平均数分别为W＝，w＝Ｗ．

M＋Nm＋n

－

（2）由于用第1层的样本平均数

－

x可以估计第1层的总体平均数X，用第

－

－

2层的样本平均数y可以估计第2层的总体平均数Y．因此我们可以用

－－

M×x＋N×yM

－

N

－

＝x＋y估计总体平均数

－

W．

M＋NM＋NM＋N

mn

m＋n

M

－

N

－

（3）在比例分配的分层随机抽样中，＝＝，可得x＋y

MN

M＋NM＋NM＋N

3/23

MNmn

m

－

n

－－

x＋y＝w．因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接

m＋nm＋n

用样本平均数

－

w估计总体平均数

－

W．

＝

6．获取数据的途径

获取数据的基本途径有：（1）通过调查获取数据；（2）通过试验获取数据；

（3）通过观察获取数据；（4）通过查询获取数据

三、合作探究

总体、样本等概念辨析题

例1：为了调查参加运动会的1000名运动员的平均年龄，从中抽取了100

名运动员进行调查，下面说法正确的是（）

A．1000名运动员是总体

B．每个运动员是个体

C．抽取的100名运动员是样本

D．样本量是100

【解析】根据调查的目的可知，总体是这1000名运动员的年龄，个体是每

个运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，样本量为100．故答案为

D．

【答案】D

[规律方法]

此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本

与样本容量的不同，其中样本量为数目，无单位．

简单随机抽样的概念

例2：下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？

（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

（2）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次抽取100支火炬进行质量检查；

（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展

救灾工作．

【解】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的

个数是有限的．（2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响

个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．（3）不是简单随机

4/23

抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可

能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．

[规律方法]

要判断所给的抽样方法是否为简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随

机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点．

抽签法及随机数法的应用

例3：某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写

出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程．

【解】（1）利用抽签法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50．

第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签．

第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．

第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．

（2）利用随机数法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50．

第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作

为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本．

第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数．

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．

[规律方法]

（1）利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：

①编号时，如果已有编号（如学号、标号等）可不必重新编号．（例如该题

中50名同学，可以直接利用学号）

②号签要求大小、形状完全相同．

③号签要搅拌均匀．

④抽取号签时要逐一、不放回抽取．

（2）利用随机数法抽取样本时应注意的问题：如果生成的随机数有重复，

即同一编号被多次抽到，应剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同

编号个数等于样本所需的人数．

5/23

分层随机抽样中的有关计算

例4：（1）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，

中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽

样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工的

人数为Ｗ．

（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设

了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共

有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

泥塑

剪纸

高一年级高二年级高三年级

a

x

b

y

c

z

3

其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的

5

，为了

了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则

从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人．

【解析】（1）设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x

32

＝90．则样本中的老年职工人数为90×

160

＝18．

3

（2）法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的

5

，

2

故“剪纸”社团的人数占总人数的

5

，

2

所以“剪纸”社团的人数为800×

5

＝320；

y33

因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝

10

，

x＋y＋z2＋3＋5

3

所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×

10

＝96．

501

由题意知，抽样比为

800

＝

16

，

1

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×

16

＝6．

3

法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的

5

，

2

故“剪纸”社团的人数占总人数的

5

，

2

所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×

5

＝20．

6/23

y33

＝＝

10

，

x＋y＋z2＋3＋5

3

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×

10

＝6．

又“剪纸”社团中高二年级人数比例为

【答案】（1）18（2）6

[规律方法]

分层随机抽样中有关计算的方法

该层样本量n该层抽取的个体数

（1）抽样比＝＝．

总样本量N该层的个体数

（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．

对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上

面两个等量关系求解．

样本平均数的求法

例5：（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8．求

甲在本次游戏中的平均成绩．

（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了

一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8

的样本，并算得样本的平均数为6．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成

一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值．

6＋3×7＋4×8＋9＋10

【解】（1）甲在本次游戏中的平均成绩为＝7．8．

10

10×5＋8×650＋48

49

（2）合在一起后的样本均值为＝

18

＝

9

．

10＋8

[规律方法]

在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本

mx＋ny

量为n，平均值为y，则样本的平均值为．

m＋n

【课堂检测】

1．在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性（）

A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些

B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些

D．每个个体被抽中的可能性无法确定

解析：选B．在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第

7/23

几次抽样无关．

2．若对某校1200名学生的耐力做调查，抽取其中120名学生，测试他们

1500米跑的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（）

A．120名学生

B．1200名学生

C．120名学生的成绩

D．1200名学生的成绩

解析：选C．本题抽取的是120名学生的成绩，因此每个学生的成绩是个体，

这120名学生的成绩构成一个样本．

3．（2019·广西钦州市期末考试）某中学共有1000名学生，其中高一年级

350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中

抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（）

A．20

C．30

B．25

D．35

350

解析：选D．高一年级抽取的人数为

1000

×100＝35．故选D．

4．在调查某中学的学生身高时，利用分层抽样的方法抽取男生20人，女生

15人，得到了男生身高的平均值为170，女生身高的平均值为165．试估计该中

学所有学生的平均身高是多少？

20×170＋15×165

587566

解：＝

35

＝167

7

．即该中学所有学生的平均身高为167

7

．

20＋15

第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．

统计案例公司员工的肥胖情况调查分析

【教学重难点】

数据分析。

【教学目标】

针对实际统计案例进

行调查分析。

【核心素养】

数学应用。

【教学过程】

一、背景导入

近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.

目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMT）来衡量人体胖

8/23

瘦程度以及是否健康，其计算公式是

中国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9为正常；

24≤BMI<27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖。

二、数据调查

为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用

比例分配的分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数

据，计算得到他们的BMI值如下：

三、合作探究

根据上面的数据，写一份该公司员工肥胖情况的统计分析报告.要求：

1．选择合适的图表展示数据；

2．比较男、女员工在肥胖状况上的差异；

3．分析公司员工胖瘦程度的整体情况；

4．提出控制体重的建议.

四、教师指导

统计分析报告的主要组成部分

1．标题

2．前言

9/23

简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况。

3．主体

展示数据分析的全过程：首先要明确所关心的问题是什么，说明数据蕴含的

信息；根据数据分析的需要，说明如何选择合适的图表描述和表达数据；从样本

数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，用于比较男、女员工在肥胖状

况上的差异；通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体情况.

4．结尾

对主体部分的内容进行概括，结合控制体重的一般方法（可以查阅有关文

献），提出控制公司员工体重的建议.

用样本估计总体

【第一课时】

【教学目标】

1．会画一组数据的频率分布表、频率分布直方图.

2．会用频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等对总体

进行估计.

3．掌握求n个数据的第p百分位数的方法.

【教学重难点】

1．频率分布表、频率分布直方图.

2．用样本估计总体.

3．总体百分位数的估计.

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？

2．频率分布直方图有哪些特征？

3．如何求n个数据的第p百分位数？

二、基础知识

10/23

1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

2．百分位数

（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组

数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等

于这个值．

（2）计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算i＝n×p%．

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项

数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

三、合作探究

1．频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制

角度一：频率分布表、频率分布直方图的绘制

为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：

kg)如下：

57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，

46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，

55，56，61，52，69，64，46，54，48

将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．

【解】以4为组距，列表如下：

分组频率累计

11/23

频数频率

[41.5，45.5)

[45.5，49.5)

[49.5，53.5)

[53.5，57.5)

[57.5，61.5)

[61.5，65.5)

[65.5，69.5)

2

7

8

16

5

4

2

0.0455

0.1591

0.1818

0.3636

0.1136

0.0909

0.0455

频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．

（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：

①若

极差极差

为整数，则＝组数；

组距组距

极差极差

②若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．

组距组距

（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，

纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解

数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一

般样本量越大，所分组数越多．

角度二：频率分布直方图的应用

为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数

测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小

长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．

12/23

（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？

（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标

率是多少？

（3）样本中不达标的学生人数是多少？

（4）第三组的频数是多少？

【解】（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，

4

因此第二小组的频率为＝0.08．

2＋4＋17＋15＋9＋3

又因为第二小组的频率＝

第二小组的频数

，

样本量

所以样本容量＝

第二小组的频数12

＝＝150.

第二小组的频率0.08

17＋15＋9＋3

（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×

2＋4＋17＋15＋9＋3

100%＝88%.

（3）由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1

－0.88＝0.12．

所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．

17

（4）第三小组的频率为＝0.34．

2＋4＋17＋15＋9＋3

又因为样本量为150，

所以第三组的频数为150×0.34＝51．

频率分布直方图的应用中的计算问题

频率

（1）小长方形的面积＝组距×＝频率；

组距

（2）各小长方形的面积之和等于1；

13/23

频数频数

（3）＝频率，此关系式的变形为＝样本量，样本量×频率＝频数．

样本量频率

2．条形统计图

为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部

分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内

容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．

请根据统计图提供的信息回答以下问题：

（1）求抽取的学生数；

（2）若该校有3000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；

（3）估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人

数的百分比．

【解】（1）从统计图上可以看出，

喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；

喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；

喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；

喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人；

喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．

所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人)．

（2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106

106

人，占所抽取总人数的比例为

300

，

由于该校有3000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生

106

有

300

×3000＝1060(人)．

（3）该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的

45

比例为

300

×100%＝15%.

14/23

（1）绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，

第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图．

实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画

(描述)就越精确．

（2）在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数

据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．

3．折线统计图

小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线

图．

根据图中的信息，回答以下问题：

（1）护士每隔几小时给小明测量一次体温？

（2）近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？

（3）从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？

（4）如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那

么小明最快什么出院？

【解】（1）根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．

（2）从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是

39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．

（3）从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．

（4）9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏

度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因

此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．

（1）绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意

义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第

三步，用直线段顺次连接即可．

15/23

（2）在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情

况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．

4．扇形统计图

下图是A，B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：

（1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？

（2）已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B

学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？

【解】（1）不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．

（2）设A学校收到艺术作品的总数为x件，B学校收到艺术作品的总数为



10%x－5%y＝20，



x＝500，

y件，则

解得即A学校收到艺术作品的总数为500



50%y－40%x＝100，



y＝600，

件，B学校收到艺术作品的总数为600件．

（1）绘制扇形统计图时，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的

度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．

（2）扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇

形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．

5．百分位数的计算

现有甲、乙两组数据如下表所示．

序号

甲组

乙组

1

1

0

2

2

0

3

2

0

4

2

0

5

2

1

6

3

1

7

3

2

8

3

3

9

5

4

10

5

5

11

6

6

12

6

6

13

8

7

14

8

7

15

9

10

16

10

14

17

10

14

18

12

14

19

13

14

20

13

15

试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．

【解】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．

x

5

＋x

6

2＋3

因此，甲组数的25%分位数为

2

＝

2

＝2.5；

16/23

x

15

＋x

16

9＋10

甲组数的75%分位数为

2

＝

2

＝9.5．

x

5

＋x

6

1＋1x

15

＋x

16

乙组数的25%分位数为

2

＝

2

＝1，乙组的75%分位数为

2

＝

10＋14

2

＝12．

求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．

【课堂检测】

1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是

()

解析：选D．用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比

较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图．注意B选项中

的图不能称为统计图．

2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2700，

3000)g的频率为()

A．0.1

C．0.3

B．0.2

D．0.4

解析：选C．由题图可得，新生儿体重在[2700，3000)g的频率为0.001×300

＝0.3，故选C．

17/23

3．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是()

A．甲校女生比乙校女生多

B．乙校男生比甲校男生少

C．乙校女生比甲校男生少

D．甲、乙两校女生人数无法比较

解析：选D．图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生总数不知道，因

此男生与女生的具体人数也无法得知．

【第二课时】

【教学目标】

1．理解样本数据标众数、中位数、平均数的意义和作用，学会计算数据的

18/23

众数、中位数、平均数.

2．理解样本数据方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准

差.

【教学重难点】

会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．

【教学过程】

一、基础知识

1．众数、中位数、平均数

众数、中位数、平均数定义

（1）众数：一组数据中出现次数最多的数．

（2）中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间

位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．

1

（3）平均数：如果n个数x

1

，x

2

，…，x

n

，那么x＝

n

(x

1

＋x

2

＋…＋x

n

)叫做

这n个数的平均数．

思考：平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有

何缺点？

答案：平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数

据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．

2．方差、标准差

标准差、方差的概念及计算公式

（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．

1

s＝

n

[(x

1

－x)2＋(x

2

－x)2＋…＋(x

n

－x)2].

（2）标准差的平方s2叫做方差．

1

s2＝

n

[(x

1

－x)2＋(x

2

－x)2＋…＋(x

n

－x)2](x

n

是样本数据，n是样本容量，x

是样本平均数)．

（3）标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样

本数据均为x.

二、合作探究

19/23

1.众数、中位数、平均数的计算

（1）某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1

人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组

数学成绩的平均数、众数、中位数分别为()

A．85,85,85

C．87,85,85

B．87,85,86

D．87,85,90

（2）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成

绩(单位：分)．

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别

为()

A．2,5

C．5,8

B．5,5

D．8,8

答案（1）C（2）C

100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75

解析（1）平均数为＝87，众数为85，中

10

位数为85．

（2）结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行

求解．

由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，所以x＝5．又乙组数据的平均数为

9＋15＋10＋y＋18＋24

＝16.8，所以y＝8，所以x，y的值分别为5,8．

5

【教师小结】平均数、众数、中位数的计算方法：

平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按

从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．

2．标准差、方差的计算及应用

甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：

甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；

乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5．

（1）分别计算以上两组数据的平均数；

（2）分别求出两组数据的方差；

20/23

（3）根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参

加射击比赛，选谁去合适？

1

解（1）x

甲

＝

10

×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，

1

x乙

＝

10

×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．

1

2（2）由方差公式s2＝

n

[(x

1

－x)2＋(x

2

－x)2＋…＋(x

n

－x)2]，得s2

甲

＝3，s

乙

＝1.2．

（3）x

甲

＝x

乙

，说明甲、乙两战士的平均水平相当．

2又s2

甲

＞s

乙

说明甲战士射击情况波动比乙大．

因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加

比赛．

【教师小结】

（1）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较

两组数据的波动大小．

（2）样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越

小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本

数据在样本平均数的两边越分散．

（3）当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估

计总体的数据分布情况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．

三、课堂总结

1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散

程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．

2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知

的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样

本有较好的代表性．

3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有

随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答

案.

【课堂检测】

1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：

21/23

则这组数据的中位数是()

A．19

C．21.5

答案B

解析由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有

5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.

故选B．

2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是()

A．中位数可以准确地反映出总体的情况

B．平均数可以准确地反映出总体的情况

C．众数可以准确地反映出总体的情况

D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况

答案D

3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若

B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得的数据，则A，B两样本的下列

数字特征对应相同的是()

A．众数

C．中位数

答案D

4．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选

手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一

个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a

1

，a

2

，则一定

有()

B．平均数

D．标准差

B．20

D．23

A．a

1

>a

2

B．a

2

>a

1

C．a

1

＝a

2

22/23

D．a

1

，a

2

的大小与m的值有关

答案B

解析由茎叶图知，

1＋5＋5＋4＋5

a

1

＝80＋＝84，

5

4＋4＋6＋4＋7

a

2

＝80＋＝85，故选B．

5

5．若样本数据x

1

，x

2

，…，x

10

的标准差为8，则数据2x

1

－1,2x

2

－1，…，

2x

10

－1的标准差为________．

答案16

解析设样本数据x

1

，x

2

，…，x

10

的标准差为s，则s＝8，

可知数据2x

1

－1,2x

2

－1，…，2x

10

－1的标准差为2s＝16．

23/23