《认识方程》教学设计与反思

《认识方程》教学设计与反思

【教学课题】认识方程

【教学内容】苏教版义务教育课程标准实验教科书《数学》五年级（上册）

第1-2页例1、例2，“试一试”和“练一练”，练习一第5题。

【教材分析】此内容是在学生已掌握“用字母表示数”的基础上进行教学的，

同时又是即将学习“解方程”的基础。教材选择了天平这个直观教具，提出了“观

察天平图、用式子表示天平两边物体质量关系”的要求。在学生观察、按要求写

式子，以及对写出的式子进行分析归纳的基础上，认识等式和方程。教学方程的

意义，并非让学生简单地认识方程的外在特征，即“含有未知数的等式”，而是

要让学生体会方程的本质特征，即揭示事件中最主要的数量关系。必须引导学生

借助日常生活经验，利用具体的问题情境去探寻相应的等量关系，从而构建“方

程”的概念，才能更好地理解方程的意义。

【教学方法】自主探究、合作交流、教师指导。

【教学目标】

1．理解方程的概念，体会等式与方程之间的关系，会用方程描述简单情境中的

等量关系。

2．经历将现实问题抽象成方程的过程，积累将等量关系数学化、符号化的活动

经验，初步感受方程的建模思想。

【教学重点】列方程表示简单的数量关系。

【教学难点】理解方程的意义，即等号两边的两件事情是等价的。

【教学过程】

一、认识代数式与不等式

1．日历问题

出示本月的日历图，提问：仔细观察相邻两行的数据，你发现了什么？

根据学生的回答，揭示：上面一行数比下一行数少7。（或下一行数比上一

行数多7）

引导：如果周三这天的日期用x表示，那么它上一行的这一天就可以怎样表

示？下一行的这一天呢？这3天的和怎么表示？

课件呈现：x-7，x+7,3x。

小结：像这样的式子，数学上称为代数式。（板书：代数式）

2．三角形路线图

出示路线图，提问：邮递员送信，从邮局经超市到学校的路程，你能用代数

1

式表示吗？

根据学生的回答，课件呈现：x+4。

引导：当然，还有另一条路可走。比较这两种走法，你会选择哪一种，为什

么？

根据学生回答，课件呈现：x+4>6。

启发：这里的x是未知的，x+4>6就一定成立吗？结合图形，谁解释一下。

引导学生明确：三角形任意两边的和大于第三边。

进一步要求：三角形两边的差与第三边的关系呢？也就是x-4<6。

小结：像这样的式子，数学上称为不等式。（板书：不等式）

二、认识等式与方程

1．天平图

课件呈现动态天平，引导：这是一架天平。我在两端的托盘里分别放上砝码，

你能用不等式表示天平左右两边物体的质量关系吗？

根据学生回答，课件呈现：40+20<100。

进一步提出要求：要使天平平衡，左右两边所放物体质量应该怎样呢？我们

可以把右盘中100克砝码换成多少？（60克木块）那么这时能用怎样的式子来

表示呢？

学生回答后，课件呈现：40+20=60。

再次提出要求：如果右盘中100克保持不变，我们可以把左盘中20克砝码

换成多少？（60克木块）那么这时天平平衡了，你又能得到怎样的式子？

根据学生回答，课件呈现：40+60=100。

小结：像这样左右两边相等的式子，数学上称为等式。（板书：等式）

2．未知量

引导：现在，如果我把木块放下去，请猜测一下，天平有可能出现平衡的状

态吗？如果平衡，你能得到怎样的等式呢？

根据学生的质疑，启发：我们发现木块的质量没有标出来，是未知的，如何

表示呢？

学生回答后，明确：用字母x表示未知数。课件呈现：20+x=100。

介绍：人类能够用字母表示未知数，并且让未知数平等地参与运算经历了漫

长的过程。

[数学史料1]700多年前，我国数学家李冶在《测圆海镜》中首次应用了“天

元术”，他用“天元”表示未知数。14世纪初，朱世杰在《四元玉鉴》中又创立

2

了“四元术”，这是我国古代数学的一次飞跃。

进一步启发：天平除了可能平衡，还可能出现哪些情况呢？你又能得到怎样

的式子？

根据学生回答，课件呈现：20+x>100与20+x<100。

进一步要求：我们继续操作，这时天平两边物体的质量关系又怎么表示呢？

学生回答后，课件呈现：2x=160。

3．分类

引导分类：从日历问题中，我们得到代数式；从路线图和天平图中，得到不

等式；通过天平演示，也得到了等式。仔细观察这9道式子的特征，你能尝试着

给它们分类吗？

学生讨论后，分类探究，教师巡视指导。

学生汇报分类情况。

提问：分类可以帮助我们更清晰地认识事物的特征。你这样分类的标准是什

么呢？

根据学生回答，确定分类标准：按是否是等式来分类。（或是否含有未知数）

学生汇报分类情况，并操作演示。

进一步要求：在原有分类的基础上，再选择另一个标准进行第二次分类。

学生完善自己的分类。

小结：通过第一次分类，我们得到是等式和不是等式两类。在此基础上，我

们又进行第二次分类，得到含有未知数和不含未知数的式子两类。这样通过两次

分类，就得出4组式子。我们分别研究一下它们的特征。

根据学生回答，明确4组式子类型：含有未知数但不是等式；不含未知数也

不是等式；不含未知数是等式；含有未知数是等式。

4．概念

小结：像这一组含有未知数的等式，数学上称为方程。（板书：方程概念）

人类探索方程，历史源远流长。

[数学史料2]最早的方程，记录在古埃及的纸草卷中。最早的方程组则记

录在我国古代的《九章算术》中。1637年，法国数学家笛卡尔最早用x、y、z

等字母表示未知数，才形成了现在的方程。

揭示课题。（板书：方程的意义）

5．判断

呈现“练一练”第1题8道式子。

3

提问：我们初步了解方程的概念，你能判断哪些式子是方程吗？

引导启发：你觉得怎样就能快速准确地辨认出方程呢？

学生回答后，小结：我们仍然要抓住方程的两条基本特征：是不是等式，有

没有未知数。

进一步提问：这些式子中哪些是等式呢？它的特征又是什么？

学生汇报。

6．关系

引导学生观察8道式子，探索等式与方程的关系。学生在小组内讨论，再尝

试着用自己的方式表示。

两名学生汇报。

小结：数学家是用集合图来描述的，等式与方程之间是包含和包含于的关系。

方程是一类特殊的等式。所以说：“所有方程都是等式，但等式不一定是方程。”

三、巩固概念，明确意义

1．写方程

学生写方程，同桌间交流。

2．看图列方程

课件呈现：“练一练”第3题。

启发：要想深刻地认识方程的特征，还需要在实际问题情境中具体应用。

生看图列方程。

小结：我们发现，当存在相等的数量关系时，就能用方程来描述。因此，方

程的实质是“等号左右两边所描述的两件事情是等价的”。

3．用方程表示数量关系

课件呈现：“练习一”第2题。

引导：生活中有许多这样的等量关系，怎样用方程表示呢？

学生说数量关系列方程。

小结：我们发现，当理解了题中的等量关系，并根据它确定未知量和已知量

后，就能列出方程解决问题。因此，方程的深层含义是“把未知量和已知量联系

起来的等式模型”。

四、总结拓展，感悟经典

1．总结

通过今天的学习，你有什么收获？

小结：这节课，我们初步认识了方程，了解了方程的意义，学会用方程描述

4

简单情境中的等量关系。同学们觉得方程有用吗？方程是刻画现实世界的一个有

效的数学模型。

2．经典

介绍：最后，我们来共同分享《九章算术·方程》中的经典名题。

出示题目“五雀六燕”，借助图形解释。

小结：一道题目，得到两个等量关系，列出两道方程。方程的内容非常丰富，

方程的应用非常广泛，方程能帮助我们准确清晰地认识、描述和把握现实世界。

方程思想是永恒的好数学。

【板书设计】

认识方程

含有未知数的等式，称为方程。

代数式

不等式

等式

方程

“方程”教学反思

《九章算术》第八章为方程。北魏刘徽在其注释中最早界定了方程的概念：

“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率。二物者再程，三

物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。”实际上，这是通过算筹摆

出的增广矩阵来求解方程组。刘徽同时明确方程的价值：“以御错糅正负。”这一

精辟论断，随时间沙淘，今朝愈发辉映。

“错糅”，当人们认识、刻画和把握错综复杂的现实世界时，首先要提炼数

量间的相等关系，这样才能从列方程的角度描述方程所反映的等量关系。正如东

北师大史宁中教授表述方程的实质：“表示等式左右两边的两件事情等价。”这与

等量关系息息相关。列方程体现了建模思想，彰显了方程思想方法的永恒魅力。

因此，从纷杂中寻求等量关系是构建方程的关键所在。“正负”，实行对消和还原，

是算术与代数两者运算上的根本区别。解方程时的移项，要涉及正负对消。把本

来淹没在方程中的未知量x暴露出来，就是还原了x的本来面目。这从解方程的

5

角度指明方程是通过变形转化求解未知数。正如华师大张奠宙教授给出方程的深

层含义：“把未知量和已知量联系起来寻求未知量的等式模型。”解方程体现了化

归思想，突出了方程工具性特征。所以说，“以御错糅正负”，它不仅外显方程的

功用，而且蕴隐方程的内涵。

方程思想的核心在于建模和化归。即依据等量关系列方程和依据等式性质解

方程，它分别体现着抽象和运算的过程。《标准》中对方程教学提出明确要求：

“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效

的数学模型。”学生在问题情境中，探索、研究，寻求已知与未知之间的内在联

系，建立数量之间的相等关系，把日常语言描述抽象成数学表达（数量关系式），

再转换成数学符号（方程式）。因此，设置数学情境，经历方程建模过程，掌握

建模思想，学会化归方法，是设计方程教学必须遵循的准则。

方程（equation）是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相

等关系的一种式子，通常在两者之间有一等号“=”。“方程的意义”属于概念教

学。“含有未知数的等式叫做方程。”小学教材采用“属+种差”的方式定义。邻

近属为“等式”，种差为“含有未知数”。这是形式层面的静态结论，凸显方程的

外部特征。同时定义附加了“像20+x=100，2x=160”这样的限定。这就区别于

函数，也避免“x=5是不是方程”的形式化争论。经历方程模型生成过程，寻找

相等关系并列方程表示，这是发现层面的动态过程。由方程的外在形式过渡到深

层含义或本质，是学生认知概念的深化和跃升。方程的意义，苏教版放在五年级

下册，人教版放在五年级上册，时间安排稍有差异。但其知识建构都是以“用字

母表示数”为基础，再进行方程概念教学。“用字母表示数”的形式就是代数式，

是由算术走向方程的先锋。长期以来，它的应有价值在小学阶段没有引起足够重

视，这从判断是否是方程的习题中可见。学生认识方程、等式、不等式，却叫不

出代数式。因此，本课的设计就从代数式切入，联络知识点，层层渐进。日历图

中蕴藏丰富的代数关系，这里只取相邻行之间日期的和差代数表示，力求简明。

阐述不等式，本课选择天平和三角形路线图两个模型。借助天平刻画两端托

盘里的物体质量关系，不平衡就可以用不等式表达。演示形象直观，数量关系显

而易见。三角形路线图，从几何图形的角度引出三角形三边关系。即三角形任意

两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。同样存在不等关系。天平是等

式与方程本质特征的绝妙化身。天平平衡，意味着存在相等的数量关系，这与等

式或方程反映两件事情等价不谋而合。在一定程度上提醒我们，不能习惯性地把

“等号”看成执行运算或赋值结果的表示，它是描述两件事情等价的关系符号。

6

含有“等号”，是等式模型的标志。引入未知量后，联立已知量和未知量来寻求

未知量的等式模型，就是方程。

分类以比较为基础，有助于人们清晰地认识事物的特征。需要缜密、全面的

视角看问题，注重观察、分析、抽象和概括，关键是选好标准。本课选择“是不

是等式，有没有未知数”作标准，对9道式子进行分类和再分类操作，得出4组

不同类型，再分组研究，最终引出方程，从而渗透数学分类思想。一般而论，把

数学知识转化成数学问题，寓于习题中，不仅巩固新知，还成为生长点，激发出

新的认识与想法。这种处理是一种有效的模式。呈现8道式子，逐一判断出等式

或方程，目的是强化理解两者的特征，也揭示两者的联系。等式与方程是包含和

包含于的关系，等式包含方程，方程包含于等式。数学上常用集合图表示。因此，

“所有方程都是等式，但等式不一定是方程”结论成立。而学生对两者关系“部

分与整体”的理解或尝试创作图画表示，都初步体现集合思想。

两则数学史料介绍，前一则涉及李冶《测圆海镜》中“天元术”和朱世杰《四

元玉鉴》中“四元术”，侧重于我国古代数学家对未知量的描述；后一则提及古

埃及纸草卷、中国《九章算术》与法国笛卡尔的成就，着眼于人类对方程漫长发

展历程的探究。引入数学史，旨在体现方程知识的传承性，感受无数数学家的卓

越贡献。“五雀六燕”为《九章算术·方程》中的经典名题。它借助天平刻画燕

雀之间的质量关系，明确数量间存在着相等或不等关系。等量关系存在，才能据

此列方程。实际上，它是由2道一元一次方程构成的方程组。本例放在全课结尾，

一是感知方程的充要条件，即寻找并确立等量关系；另一是感知古代数学的辉煌

成就，即重实用与重算法。

“写方程”检验学生的概念理解。要避免出现形如“5+7=x”的式子。该式

用算术方法可求，它不是方程。方程中未知数要参与运算，避免单独放在等号一

边。四则运算仅提供一种算法，方程则展示数学思想。这从概念应用上可知。“看

图列方程”为揭示方程的本质。4幅情境图涉及生活中质量、价钱与容积，前两

图是例题变式练习，仍用天平图表示。“用方程表示数量关系”为说明方程的深

层含义。涉及一般实际问题情境，数量关系复杂，更能突出方程的实际价值。这

2题都要求学生尝试抽象出数量关系，再建立方程。在经历中感受方程与实际问

题的联系，领悟数学建模思想的过程，实现从算术思维向代数思维过渡。

本课遵循3大板块设计：创设情境，经历探究——分类操作，形成概念——

巩固反馈，总结拓展。第1板块的知识储备是“用字母表示数”与“三角形三边

关系”。第2板块渗透分类思想与集合思想。从代数式、不等式到等式、方程，

7

知识点的层进水到渠成，自然过渡。每一环节的处理，也体现“双基”，小坡度、

小步走，以顺应知识的内在逻辑与学生的思维探究。适时总结则体现集成化与模

块化思想。及时跟进课堂节奏，整合知识网络，构建学生认知体系，以形成长期

记忆点。本课分类探究、概念形成以及习题设计等都凸显这一点。但“五雀六燕”

与前面衔接稍显突兀，恰巧放于结尾。最后一句总结“方程思想是永恒的好数学”，

是对方程的最佳诠释与赞誉。另外，本课也参考周永彬、贲友林、汤卫红、刘松

等老师的设计理念，受益良多，在此谨表谢意。

8