代数式的概念及运算复习提纲

代数式书山有路勤为径学海无涯乐作舟

1

一.代数式的概念

—单项式

—整式—

—有理式——多项式

代数式——分式

—无理式（根式）

1.单项式

（1）单项式的概念：数与代表数的字母的积这样的代数式叫做单项式，单独

一个数或一个字母也是单项式。

注意：数与字母之间是乘积关系。

特征：分母中无字母。

（2）单项式的系数：单项式中的字母因数叫做单项式的系数。

如果一个单项式，只含有字母因数，带正号的单项式（例如ab2）的系数为1，

带负号的单项式（例如：－ab2）的系数为—1。

（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的

次数。

2.多项式

（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。某项的次数是几，该项就叫几次

项。不含字母的项叫做常数项，也叫零次项。

一个多项式有几项就叫做几项式。

多项式中的符号，看作各项的性质符号（正负号）。

（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次

数。

几次几项式

（3）多项式的排列：

2x2

类的也是数与字母的积（与x的积）。

33

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2

1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式

按这个字母降幂排列。

2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式

按这个字母升幂排列。

由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的

位置，而保持原多项式的值不变。

3.整式：

单项式和多项式统称为整式。

整式的特征是分母不含字母。分母含有字母的叫分式。

4.分式

（1）用A,B表示的整式,AB可化为

式。

（2）分式有意义的条件

分式

A

有意义，则B0

B

AA

的形式,如果B中含有字母,就叫分

BB

（3）分式值为零的条件

分式



A0

A

0



B



B0

（4）练习

①当x取何值时,下列分式有意义

x3x253x

(1)(2)(3)

x2

4x1x4

②当x取何值时,下列分式的值为零

(1)

x2

x22x10

(2)(3)

2x5

x5

3x6

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3

x2

③已知y，当x为何值时(1)y为正数；(2)y为负数(3)y为0.

32x

二.整式的运算

（一）整式的加减

1.去括号法则

（1）括号前面是“＋”号，把_________________去掉，括号里各项___________

（2）括号前面是“－”号，把_________________去掉，括号里各项___________.

例如：①(a+b)+(c+d)；②-(a+b)-(-c-d)；

2.添括号法则

（1）添上“+”号和括号，括到括号里的各项都不变号；

（2）添上“-”号和括号，括到括号里的各项都改变符号；

例如：(1)a+b+c-d=a+()；(2)a-b+c-d=a-()

3.同类项

（1）同类项的概念

①所含字母相同。②相同字母的指数相同

（2）注意：①几个项是不是同类项与系数无关，与字母的顺序无关

②几个常数项也是同类项

4.合并同类项

合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的

指数保持不变。

例如：

(1)2a2b3a2b1

2

a2b

(2)3a2bab2a2bab2b3

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4

5.练习

123

（1）、x－(2x－y2)＋(－x＋y2)

23

2

（2）、5a－{－3b＋[6c－2a－(a－c)]}－[9a－(7b＋c)]

（3）、已知A4x24xyy2，Bx2xy5y2，化简AB，。

（二）.整式的乘法

1.单项式乘单项式

(1)2a3b4c·(－3)a2b(2)2a3b4c·(－a2bd3)

2.单项式乘多项式

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的

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积相加．a(b+c)=ab+ac

(1)5a2－［a2－(5a2－2a)－2(a2－3a)］(2)．(－4a)·(2a2+3a－1)．

3.多项式乘多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项

相乘，再把所得的积相加．(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

(1)(3m-n)(m-2n)．(2)．(x+2y)(5a+3b)．

4.乘法公式

(1)平方差公式：(a+b)(a+b)=a2－b2；

(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2；

(3)立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

(4)立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

(5)完全立方公式：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；

11

练习（1）

(a2b)(a2b)

（2）

(x1)(x1)

33

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6

（3）(3a2b)

（4）

(x2y1)(x2y1)

（5）(2x3y)2(2x3y)2（6）(x-2y)-(x-y)(x+y)2

2

（三）.整式的除法

1.单项式除以单项式

(1)x5yx2(2)8m2n22m2n(3)a4b2c3a2b

2.多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得

的商相加．(a＋b－c)÷d=a÷d＋b÷d－c÷d

(1)(



2

47

1

26

1

ab－ab)÷(－ab3)2.(2)[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x.

93

3

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（四）.分解因式

1.提取公因式法：ma+mb+m=m（a+b+1）

（1）8x－72（2）a2b－5ab

（3）3x2－6xy+x（4）a（x－3）+2b（x－3）

（5）a（x－y）+b（y－x）;（6）6（m－n）3－12（n－m）2

2.公式法：a－b=（a+b）（a－b）a±2ab+b=（a±b）

（1）25－16x;（2）9（m+n）－（m－n）;

（3）2x－8（4）a－4a+4;（5）x+14x+49;

（6）（m+n）－6（m+n）+9.（7）3ax+6axy+3ay222

222

22222

322

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3.十字相乘法

对于二次三项式（例如2x2－x－6)，如果把二次

项系数分为两个因子(例如1×2），把常数项分为两个

因子（例如－2×3），并把它们如右图排列并交叉相

乘，如果其代数和恰是一次项的系数，则该二次三项

式可以如下分解：2x2－x－6=（x－2)(2x+3)

练习：

222x5xy6yx2x15(x3)(x5

（1）（2）

(x2y)(x3y

二.分式的运算

(一）分式的基本性质

分式的分子、分母同乘以(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.

字母表示:

AAMAAM

(M0)(M0)

BBMBBM

（二）分式的约分

约分的定义：根据分式的基本性质,将分式的分子,分母的最大公因式约去,

叫做分式的约分.

约分的步骤：把分子,分母都分解因式；约去分子,分母的最大公因式.

最简分式：一个分式的分子、分母没有公因式时称为最简分式.

约分的目的：一般为了将分式化为最简分式.

练习

12a3yx4m3n2x24x4

（1）（2）（3）

27xy2m3n6x24

2

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（三）分式乘除法

ac

ac



.



（1）；（2）



bd

bd

练习

4xy

ab23a2b2



3

（2）

2



（1）

3y2x

2c4cd

xy

a24a32xyx

（3）

2

（4）

xy

a3aa22a



（四）分式的加减

1.加减法法则：①.分母相同时，分母不变，分子相加减。

②.分母不同时，先通分，再加减。

分式的通分

2.通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分

式，叫做分式的通分．

通分的依据：分式的基本性质

通分的关键：确定几个分式的公分母．

最简公分母：通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分

母叫做最简公分母．

通分的步骤如下：

(1).将各个分式的分母分解因式；

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(2).取各分母系数的最小公倍数；

(3).凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；

(4).相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；

(5).将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母；

(6).原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式，使各分式的分母都化为最

简公分母.

3.分式的加减

分母相同后，加减是：分母不变，分子相加减。分子合并同类项后，再分

解因式，约分。

练习：

a22a325xyx2y2

（1）（2）

2

（3）

x

x

a1a1

yxxy

a1a11x23x4

（4）（5）x

2a1a1x1

1x

（6）

21x2yxyx4y

（7）

x24

2x4

xyxyx4y

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1



1x



4x



x

（8）



1

（9）

1

2



1xxx2x22x



aba2b2

（10）1

a2ba24ab4b2