２０１１年第５期 数学教育研究 ・ ５３ ・
从一道自主招生题探究：“平底型”函数与“尖底型”函数
张太树 （上海市西南模范中学２００２３７）
先看：２０１１年北大等十三校联考（北约）自主招生
数学试卷第７题：
求：ｌｚ一１ ｌ＋ｌ ２－ｚ一１ ｌ＋…＋ｌ ２０１ｌｘ一１ ｌ的最小
值？如何解此题呢？探究如下：
＋ｌｚ—ａ道理故事。 ｌ是“平底型”函数b级锁，且底是闭区间［。 ，ａ ＋ ］卡琳贝尔，
即ｚＥ［ｎ 泰山风景，ａ ＋ ］时獒犬，函数有最小值．
２“尖底型”函数探究：
足定义：对于定义在。上的函数 一，（ｚ）’若同时满
（Ｉ）存在唯一ｚ ＥＤ女生个性网名大全，且ｆ（ｘ ）：ｃ（ｃ是常数）；
（Ⅱ）对于Ｄ内任意ｚ ｚ，当ｚ ≠Ｘｚ时总有ｆ（ｘｚ）
＞ｃ称，（ｚ）为“尖底型”函数．
例２画出（１） 一ｌ 一１
（２） —ｌ ｚ一１ ｌ＋ｌｚ一２ ｌ＋Ｉｚ一３Ｉ的大致图像？
１ “平底型’’函数探究：
定义：对于定义在Ｄ上的函数Ｙ一，（ｚ）英雄联盟盒子怎么用，若同时满
足
（Ｉ）存在闭区间［ｎ，
都有ｆ（ｘ ）一ｃ（ｃ是常数）；
Ｄ，使得任取ｚ Ｅ［口好书读后感，６］，
（１１）对于Ｄ内任意ｚ梦见雪崩。，当 。 ［ｎ洋思教学模式，６］时总有
ｆ（ｘｚ）＞ｃ称ｆ（ｚ）为“平底型”函数．
例１ 画出（１） 一ｌ ｚ一１ ｌ＋１ｚ一２ ｌ
（２） —ｌ ｚ—ｌ｝＋ｌ 一２ ｌ＋ｌ ｚ一３ ｌ＋ｌ ｚ一４ ｌ的大
致图像？
Ｉ ．＼ ： ／ ｝
团日活动策划书， ）＝ １ｌ＋Ｉ ．２１ 。 ｛
‘＼．＇ ．／ ／ ｇ 美国超级女生。
●
●
－
●
●
●
●
Ｉ２
图３
图１ ●
：
８・ ： －
● ● ●－ － ， ）＝ Ｉ＋Ｉ －２１＋Ｉ ３Ｈ 马丁老婆陈熠。４ｌ
图４
；
图２
从以上图像可猜想：
Ｉ 一１ ｌ＋ｌ ｚ一２ ｌ＋…＋ｌ ｚ一（２ｎ一１）１的大致
图像皆为“尖底型”函数，且底是ｚ＝ｎ．
—
从以上图像可猜想：
Ｉｚ一１Ｉ＋Ｉｚ一２ｌ＋…＋Ｉｚ一２ Ｉ的大致图像皆
为“平底型”函数，且底是闭区间［ ．”＋１ ．
进一步推广：
—
进一步推广：
定理２ｌ如果口１＜口２＜口３＜…＜ｎ２ 一１2017年双十一，则函数 —
ｌｚ—ｎｌ ｌ＋Ｉ ｚ一口２ １＋ｌ ｚ—ａ３ ｌ＋…＋ｌ —ａ２ ｌ是“平底
定理１：如果口 ＜ｎ ＜ｎ３＜…＜ ２ 女追男秘籍，则函数 —ｌ
ａ Ｉ＋ｌｚ－—ａｚ ｌ＋ｌ ｚ—ｎ打碗花。ｌ＋…＋ｌ ｚ一 ｚ Ｉ是“平底型”
函数，且底是闭区间［口 ，ｎ ＋ ］好诗歌，即ｚＥ［ｎ 植树节小知识50字，ｎ 霍比特人主题曲。］时，函
—
型”函数qq win8，且底是 —ａ ，即 一 时喝黑咖啡能减肥么，函数有最小值．
证明：仿定理１易证．
３“平尖底摇摆型”函数探究：
定义ｌ对于定义在Ｄ上的函数ｆ（ｚ）注册帐号qq，若同时满足
（Ｉ） ｌ6年级上册数学期中试卷， ２丰收锣鼓古筝，…，” 均为正数，口１＜口２＜ａ３＜…＜
ａ
数有最小值．
证明：由零点分区间法讨论去绝对值
当Ｘ∈（Ⅱ１，
当ｚＥ（一。儿童扁桃体炎。毕业演说，口 ］时瑜伽腹部减肥视频，斜率ｋｌ一一２ｎ烤箱做面包，
ｎｚ］时，斜率ｋ。一一２（ｎ一１），
当ｚＥ（ｎ ，ｎ ］时工厂代理，斜率ｋ 一一２（ 一２）…当ｚＥ
［ｎ 洒脱的英文，口 ＋ ］时，斜率ｋ 一一２（ｎ－－”）一０螳螂捕蝉，再往后斜率全
为正大智若愚的反义词，因此，函数 —ｌ ｚ—ａ ｊ＋ｉ ｚ—ｎｚ ｌ＋ｌ ｚ—ａ３ ｌ＋…
（１１）形如： 一 １ ｌｚ—ａｌ，ｌ＋ ２ Ｉ —ｎ２ Ｊ＋…＋ ｍ ｌｚ
口 １，称＿厂（ｚ）为“平尖底摇摆型”函数． ．
例３ 画出（１） —Ｉｚ一１ ｌ＋２ 一２Ｉｌ
（２） 一【ｚ一１｛＋２ Ｊｚ一２ ｌ＋３ Ｊｚ一３ Ｉ的大致图像？
・５４・ 数学教育研究
为底感谢你给我的光荣，即厂（ｚ） 一ｆ（ａ ）．
２Ｏｌ１年第５期 Ｖ
● 。● ●
图５
８一
一
６一
一
例４ （２００９上海高考理科）１３．某地街道呈现
东一西、南～北向的网格状，相邻街距都为１．两街道相
交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立
直角坐标系，现有下述格点（一２，２）snp面膜，（３，１）美军航母抵达南海，（３，４），
（一２，３）人事助理，（４，５），（６腾讯客服qq，６）为报刊零售点．请确定一个格点
（除零售点外）
为发行站，使６个零售点
沿街道到发行站之间路程的和最短．
【解析】设发行站的位置为（ ， ）阿房宫赋课件，零售点到发行
站的距离为 一２Ｉｚ＋２ｌ＋ｌｙ一２ Ｉ＋２ Ｉｚ一３ ｌ＋Ｉ ｙ一１ Ｉ
＋ｌ 一４Ｉ＋Ｉ 一３Ｉ＋ｌｚ一４ｌ＋Ｉ 一５Ｉ＋Ｉｚ一６Ｉ＋Ｉ ３后妈比我大三岁，一
６Ｉ一２Ｉ ＋２ｌ＋２ｌｚ一３Ｉ＋ｌｚ一４ｌ＋１ 一６Ｉ＋ｌ 一１ Ｉ＋
一２Ｉ＋ｆＩｙ－－３ｌ＋Ｉ 一４ｌ＋Ｉ 一５Ｉ＋１ 一６Ｉ
——
４一
由定理３得： 一３，Ｙ一３或４保密工作领导小组，但（３寇准传，４）不满足淘宝上的优惠券怎么领，所
以在（３，３）处２取得最小值．
一
２一
一
． ． ． ．
现在让我们来解决开始问题：求：Ｉｚ一１ｌ＋Ｉ ２ 一１
ｌ＋…＋Ｉ ２Ｏｌ１ 一１ｌ的最小值？
解： —ｌｚ一１Ｉ＋Ｉ ２ 一１ ｌ＋…＋Ｉ ２０１ｌｘ一１ Ｉ—ｌ Ｘ
一
’ ５
图６
从以上图像可猜想得：
定理３：“平尖底摇摆型”荫数 一１２ｔ ｌｚ—ｎ ｌ＋ 信仰推销。ｌ
口ｚ Ｉ＋…＋ｎ Ｉｚ—ｎ Ｉ有如下结论：
（１）如果存在ｋ使得税法知识点， ｌ＋ ２＋…＋ —ｍ＋ｌ＋
２１ 十ｚ＋…＋ 七夕节是什么意思，则，（ｚ）为平底型函数天空和海洋，当 ∈ｌ－ａ 华擎h61， ＋ ］
一
１ １＋２ ÷Ｉ＋．．－＋２０１１
号ｌ＋ 专１．．．＋