高三二轮复习数学专题教案

云南省2010届高三二轮复习专题（三十二）

题目高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用

高考要求

数学归纳法是高考考查的重点内容之一类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突

出的思想，抽象与概括网银怎么转账，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法

重难点归纳

(1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°P(n

0

)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n

0

)数学好玩，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n

0

的自

然数n都成立

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明恒等式，不等式，数的整除性裳组词语，几何中计算问题今年端午节是几月几日2021，数列的通

项与和等

典型题例示范讲解

例1试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1传统美德,n∈N*且a、b、c互不

相等时油炸鱼块，均有an+cn＞2bn

命题意图本题主要考查数学归纳法证明不等式

知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤

错解分析应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况

技巧与方法本题中使用到结论(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)对父亲说的话，从而ak

+1+ck

+1

＞ak·c+ck·a

b

证明(1)设a、b、c为等比数列，a=三毛作品集,c=bq(q＞0且q≠1)

q

bn

nnn

1

∴a+c=

n

+bq=b(

n

+qn)＞2bn

q

q

nn

(2)设a、b、c为等差数列雀斑饶雪漫，

ancnac

n则2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22

下面用数学归纳法证明

a2c2ac

2

222①当n=2时袁隆平的事迹，由2(a+c)＞(a+c)，∴()

22

akckac

k②设n=k时成立qq空间日记，即(),

22

ak1ck11

则当n=k+1时交友会，(ak

+1+ck

+1+ak

+1+ck

+1)

24

11

＞(ak

+1+ck

+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)

44

ac

k

acac

k

+1＞()·()=()

222

也就是说，等式对n=k+1也成立

由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立

例2在数列{a

n

}中，a

1

=1，当n≥2时我的朋友二年级100字作文，a

n

郑愁予错误,S

n

,S

n

－

1

成等比数列

2

(1)求a

2

,a

3

一马当先成语接龙,a

4

，并推出a

n

的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论；

(3)求数列{a

n

}所有项的和

命题意图本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识

知识依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤采用的方法是归纳、猜想、证明

错解分析(2)中湛江医学院，S

k

=－

1

应舍去，这一点往往容易被忽视

2k3

111

}是以{}为首项天涯沦落人，为公差的等差数列，进而求得通

S

n

S

1

2

技巧与方法求通项可证明{

项公式

1

成等比数列招财树的养殖方法，

2

1

∴S

n

2=a

n

·(S

n

－)(n≥2)(*)

2

解∵a

n

联合会杯2013赛程,S

n

等候的爱,S

n

－

(1)由a

1

=1,S

2

=a

1

+a

2

=1+a

2

,代入(*)式得:a

2

=－

由a

1

=1洛阳牡丹，a

2

=－

2

3

212

,S

3

=+a

3

代入(*)式得a

3

=－

3315



1(n1)

2



同理可得a

4

=－红领巾心向党歌词,由此可推出a

n

=



2

(n1)

35



(2n3)(2n1)



(2)①当n=1,2传统文学,3,4时，由(*)知猜想成立

2

②假设n=k(k≥2)时，a

k

=－成立

(2k3)(2k1)

21

故S

k

2=－·(S

k

－)

(2k3)(2k1)

2

∴(2k－3)(2k－1)S

k

2+2S

k

－1=0

11

(舍)卫星爆炸,S

k



2k12k3

11

由S

k+1

2=a

k+1

·(S

k+1

－)背叛的爱,得(S

k

+a

k+1

)2=a

k+1

(a

k+1

+S

k

－)

22

∴S

k

=

2a

k1

a

k1

11

22aaa

k1k1k12k12k12

(2k1)2

2

a

k1

显存频率,即nk1命题也成立美丽的中国结.

[2(k1)3][2(k1)1]





1(n1)



由①②知，a

n

=



对一切n∈N成立2

(n2)



(2n3)(2n1)



(3)由(2)得数列前n项和S

n

=

1

生命的铁链,∴S=

lim

S

n

=0

n2n1

n(n1)

(an2+bn+c)

12

例3是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

解假设存在a、b、c使题设的等式成立，

1



4(abc)



6



a3



1



这时令n=1白洋淀荷花大观园,2,3,有



22(4a2bc)



b11

2



c10





709a3bc





于是，对n=1,2朝鲜军演,3下面等式成立

n(n1)

(3n211n10)

12

记S

n

=1·22+2·32+…+n(n+1)2

k(k1)

设n=k时上式成立，即S

k

=(3k2+11k+10)

12

k(k1)

那么S

k+1

=S

k

+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

2

(k1)(k2)

=(3k2+5k+12k+24)

12

(k1)(k2)

=［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12

也就是说，等式对n=k+1也成立

综上所述，当a=3,b=11,c=10时烧烤节，题设对一切自然数n均成立

学生巩固练习

1已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m浙江高校开学时间,使得对任意n∈N鸡汤放什么材料煲汤好喝,都能使m整除f(n)，则最大的

m的值为()

A30B26C36D6

2用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()

An=1Bn=2Cn=3Dn=4

131151117

3观察下列式子1,1

2



2

,1

2



2



2

…则可归纳出________

2234

23234

1·22+2·32+…+n(n+1)2=

4已知a

1

=

3a

n

1

,a

n+1

=比划算命,则a

2

垂直与平行,a

3

,a

4

电信光纤,a

5

的值分别为________，由此猜想a

n

=________

a

n

32

5用数学归纳法证明42n1+3n

+2能被13整除翻译专业，其中n∈N*

11113







n1n22n24

7已知数列{b

n

}是等差数列，b

1

=1,b

1

+b

2

+…+b

10

=145

(1)求数列{b

n

}的通项公式b

n

;

6若n为大于1的自然数，求证

(2)设数列{a

n

}的通项a

n

=log

a

(1+

1

)(其中a＞0且a≠1)记S

n

是数列{a

n

}的前n项和，试

b

n

比较S

n

与

1

log

a

b

n+1

的大小蜀道难 教案，并证明你的结论

3

n

8设实数q满足|q|＜1,数列{a

n

}满足a

1

=2,a

2

≠0,a

n

·a

n+1

=－qno优化工作内容,求a

n

表达式红色之旅心得体会，又如果

lim

S

2n

＜3我的播音系女友电影,求q的取值范围

参考答案

1解析∵f(1)=36临床医学论文,f(2)=108=3×36女生甜美发型,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除

证明n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时korol，

f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k

+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k

2(k≥2)



f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36

答案C

2解析由题意知n≥3，∴应验证n=3

答案C

3解析1

131211

即1

22211

2(11)

1

11511221

,即1

21

22323

(11)2(21)2

1112n1

(n∈N*)





222n1

23(n1)

归纳为

1

答案

:1

1112n1

(n∈N*)





222n1

23(n1)

1

3a

12



3



3

同理,4佗城.解析:a

2



a

1

3

1

725

3

2

3a

2

3333333

a

3

,a

4

,a

5

安全标志图片大全,猜想a

n



a

2

38359451055n5

3

33333

答案:、、、

7

8910n5

×5证明(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42

k

+1+3k

+2能被13整除，则当n=k+1时苏武颁奖词，

42(

k

+1)+1+3k

+3=42

k

+1·42+3k

+2·3－42

k

+1·3+42

k

+1·3

=42

k

+1·13+3·(42

k

+1+3k

+2)

∵42

k

+1·13能被13整除高考复习方法，42

k

+1+3k

+2能被13整除

∴当n=k+1时也成立

由①②知 千山暮雪 ，当n∈N*时噎着，42

n

+1+3n

+2能被13整除

11713



21221224

11113

(2)假设当n=k时成立，即





k1k22k24

1111111

则当nk1时,

k2k32k2k12k2k1k1

131111311



242k12k2k1242k12k2

13113



242(2k1)(k1)24

6证明(1)当n=2时丝雨，

7(1)解设数列{b

n

}的公差为d,



b

1

1



b

1

1



由题意得



,∴b

n

=3n－2



10(101)

10b

1

d145



d3



2



(2)证明由b

n

=3n－2知

11

)+…+log

a

(1+)

43n2

11

=log

a

［(1+1)(1+)…(1+)］

43n2

11

而log

a

b

n+1

=log

a

33n1

,于是父亲的菜园，比较S

n

与log

a

b

n+133

11



比较(1+1)(1+)…(1+)与33n1

的大小

43n2

S

n

=log

a

(1+1)+log

a

(1+

取n=1，有(1+1)=38343311

取n=2爱情魔豆，有(1+1)(1+)38373321

的大小

1

4

11

)…(1+)＞33n1

(*)

43n2

①当n=1时，已验证(*)式成立

11

②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞33k1

43k2

则当n=k+1时，

1111

(11)(1)



(1)(1)33k1(1)

43k23(k1)23k1

推测(1+1)(1+



3k2

33k1

3k1



(

3k2

33k1)3(33k4)3

3k1

(3k2)3(3k4)(3k1)29k4

0

(3k1)2(3k1)2

3



3k1

(3k2)33k433(k1)1

3k1

111

从而

(11)(1)



(1)(1)33(k1)1,

43k23k1

即当n=k+1时黄豆的功效，(*)式成立

由①②知，(*)式对任意正整数n都成立

1

于是，当a＞1时，S

n

＞log

a

b

n+1

,

3

1

当0＜a＜1时机械类专业就业前景，S

n

＜log

a

b

n+13

8解∵a

1

·a

2

=－q,a

1

=2,a

2

≠0,

9

∴q≠0奇志大兵相声台词,a

2

=－塔山狙击战,

2

∵a

n

·a

n+1

=－qn幸福在我心,a

n+1

·a

n+2

=－qn

+1

两式相除学雷锋活动方案，得

a

n

1

性格测试题及答案,即a

n+2

=q·a

na

n2

q

于是，a

1

=2,a

3

=2·q,a

5

=2·qn…猜想a

2n+1

=－

1

nq(n=1,2,3,…)

2



2qk1n2k1时(kN)



综合①②殊途同归，猜想通项公式为a

n

=



1

kqn2k时(kN)





2

下证(1)当n=1鸡汤面,2时猜想成立

－(2)设n=2k－1时网站策划运营，a

2k－1

=2·qk

1则n=2k+1时，由于a

2k+1

=q·a

2k－1

∴a

2k+1

=2·qk即n=2k－1成立

可推知n=2k+1也成立

设n=2k时中考时间2020具体时间，a

2k

=－

所以a

2k+2

=－

1

kq,则n=2k+2时，由于a

2k+2

=q·a

2k2

观海听涛的意思,

1

kq+1,这说明n=2k成立中国什么时候登月，可推知n=2k+2也成立

2

综上所述，对一切自然数n开学第一课几点开始,猜想都成立



2qk1当n2k1时(kN)



这样所求通项公式为a

n

=



1

kq当n2k时(kN)





2

S

2n

=(a

1

+a

3

…+a

2n－1

)+(a

2

+a

4

+…+a

2n

)

=2(1+q+q2+…+qn

-1)－

1

(q+q2+…+qn)

2

2(1qn)1q(1qn)1qn4q

()()

1q2(1q)1q2

1qn4q

)()由于|q|＜1元宵节创意文案,∴lim

q0,故

lim

S

2n

=

(

1q2nn

n

依题意知

4q

＜3,

2(1q)

并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

课前后备注

2

5