１６ 中等数学
活用 次单位根解清华保送题
吕海柱
（江苏省宝应中学，２２５８００）
中图分类号：Ｏ１５６．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６４１６（２０１３）０８—００１６—０１
定义ｌ的ｎ次方根称为几次单位根．
令∞： 关于环保的手抄报，则１的ｎ次单位根可以表示为１痛到骨子里心碎的句子，
２ ｎ—ｌ
ｏｔ，ｔｏ，…青年节图片大全大图，ｔＯ ·
若记ｔｏ ：ｅ Ｚ睇１
，则单位根具有如下性质．
性质１ ｔＯ ＋，＝ｔＯ太子妃升职记导演，（ｇ∈Ｎ，ｒ＝０，１，…教师节座谈会，ｎ一１）．
性质２任意两个ｒ／，次单位根ｔｏ 、ｔｏ；的
积仍是ｎ次单位根春联什么时候贴，且∞ ｏｔｊ＝ｔＯ ．
性质３对于任意的ｎ∈Ｚ大学生自我介绍范文，则
ｔＯ ｍ Ｏｔｍｎ．
性质４设ｍ是整数，ｎ是大于１的整
数．则
－ ＋＋ｔＯＬ追求，＝
本文借助单位根，与大家一起探讨两道
清华大学保送生试题．
例１已知Ｐ是大于３的素数．求
（－ 教科室总结。 ） ．
的值．
（２０１２，清华大学金秋营试题）
解设∞＝ｅ了．则
Ｏｔ ＝１．ｔ
ｐ
Ｏ
一号
一 ＝一１，２ｃｏｓ竺 二＝＝∞ ＋ｔ
２
． Ｏ－ｋ
． Ｐ
故 （１＋２ｃｏｓ ）＝ｋ付
＝ｌ
Ⅱ∞一 （ ＋∞ ＋１）
收稿日期：２０１３一Ｏ１一ｏ５
： 一 付（ ＋ ＋１）
：（一１ －付 ．
又Ｐ是大于３的素数，则（一１） ＝１；
同时，Ｐ与３互素，｛１，２，…，Ｐ一１｝和｛３ Ｘ １，
３×２世界读书日2021年主题，…，３ Ｘ（Ｐ一１）｝均表示模Ｐ的缩系．
从而平安夜女神，Ⅱ（１一∞ ）＝Ⅱ（１一∞ ）．
综上，
ｋ ｌ＝、 ＋２ｃ月光下的影子。ｓ ）－１， ．
【说明】本题将三角的计算转化为单位
根的计算，根据性质１，通过构造模Ｐ的缩系
简化了求解过程．
例２求
，：ｉ
』＝８１
ｎ
ｎ——
．ｉ
Ｓ１
ｎ
ｎ
２Ｅ
……‘什么是本科提前批。ｎ一．．Ｓ１ｉｎ
的值（ｎ为大于１的自然数）．
（２０１１船舶工程师，清华大学金秋营试题）
解 设∞：ｃｏｓ ＋ｉ ｓｉｎ ．则 ｈ：１．
， ｒｇ
从而，１，Ｏｔ ，ｃｃＪ４蔡国伟，…邓丽欣好听的粤语歌， （ 均为 抽一１＝０
的棍
则 —ｌ
＝（ 一１）［ ‘ 一”＋ ２‘ 一２ ＋…＋ ＋１］
＝（ 一１）（ 一０）２）（ 一ｃ￡Ｉ４）…［ 一 ‘ ］．
故 ２（ 一 ＋ ２‘ 一２ ＋…＋ ＋１
＝（ 一ｔＯ ）（ 一ｔＯ ）…［ 一∞ ‘ ’］．
２０１３年第８期 １７
一道爱尔兰数学奥林匹克题的推广木
边欣
（天津师范大学数学科学学院，３００３８７）
中图分类号：Ｏ１２２ 文献标识码：Ａ 文章编号 １００５—６４１６（２０１３）０８—００１７一Ｏ１
２０１２年爱尔兰数学奥林匹克有这样一
则ａ ＝０ …＝ａ２＝ｎＩ＝９．
道题为： 、
再由式①得Ｓ（ｎ）≤９．
题目记Ｓ（１７，）表示整数ｎ的各位数字
从而小孩子起名， ＝１，ａ。＝０．
之和．证明：不存在正整数ｎ，使得
故ｎ＝９０吃什么记忆力好，Ｓ（ｎ）＝５（９０）＝９．
ｎ一｜ｓ（ ）＝９ ９９０． 我的新年愿望。
于是全国山河一片红，１１，一Ｓ（Ｉ１国家规定的婚假，）＝９０—９＝８１．
本文将此题推广为：
推广记Ｓ（／／黄宏简历，）表示整数ｎ的各位数字
而ｌ０ 一１０≥１００—１０＝９０，矛盾．
之和．则对任意的整数ｍ（ｍ＞１），不存在正
（２）．｝ｊ＝ｍ．‘
整数ｎ新兴产业有哪些，使得
由ａｍ＋ａｍ一１＋…＋ａ０
ｎ—Ｊｓ（ ）＝１０ 一１０． ① ＝ｌ０ｍ（口ｍ一１）＋１０ｍ一 ０ｍ—ｌ＋…＋ａ０＋ｌ０，
证明对某个整数ｍ（ｍ＞１）既没有生孩子，假设存在
从而，ａ ＝１，ｎ 一ｌ＝…＝ａ１＝０．
正整数ｎ白莲陆龟蒙，使得式①成立．记
故ｒ／安全员的职责，一Ｓ（ｎ）＝１０ 一１＞１０ 一ｌ０我最响亮，矛盾．
凡＝１０ ａ ＋１０ 一’口
—
ｌ＋…＋ｌＯａ１＋ａｏ， （３）后＞ｍ．
其中贺炜语录，ａ ，ａ ，…，ａ细胞生活的环境。均为不大于９的非负整
易知， 比ｌ０ 的位数至少多１．
数，且ａ＾≥１．
由ａ ＋ａ 一ｌ＋…＋ａｍ＋口ｍ一１＋…＋００
于是，Ｓ（ｎ）＝ａ ＋ａ —ｌ＋…＋口０．
＝１０ ａ ＋１０ 一 ａ
一１＋…＋ｌ０ｍ（０ｍ—１）＋
（１）．１｝＜ｍ．
易知，１０ 比ｎ的位数至少多１．
ｌ０ ａ
１＋…＋ａ０＋１０，
由１Ｏ巩＋ａ ＋ａ＾一１＋…＋ａｏ
贝０ ａ ＝１，ａ 一ｌ＝…＝口ｍ＝０ｍ一１＝…＝口１＝０．
＝１０ Ⅱ＾＋１０ 一 ｎ 一ｌ＋…＋１０ 口２＋
故ｎ—Ｓ（ｎ）＝１０ 一１＞１０ 一１０愿意的近义词是什么，矛盾．
１０（ａｌ＋１）＋ａ０蓝色大海的传说第11集，
综上，推广成立．
参考文献：
天津师范大学校教育基金５２ＬＪ３６资助
［１］宋宝莹翻译．２０１２爱尔兰数学奥林匹克［Ｊ］．中等
收稿日期：２０１３－０７—１２
数学，２０１３（增刊二）．
令 ＝１娃娃姐，得