科技・探索・争鸣 Ｓｃ科ｉｅｎｃｅ＆Ｔｅ技ｃｈ视ｎｏｌｏｇｙ界 Ｖｉｓｉｏｎ
复级数列Ｎ次方倒数和的收敛性与
部分复级数求和
易善峰
（贵州师范大学数学与计算机科学学院长度单位练习题。贵州贵阳５５０００１）
伸％要】求解自然数平方倒数和这个无穷级数的和是历史上有名的难题讲课稿，欧拉创造性的应用函数的级数展开式与多项式根与系数的关系
的类比方法解决了这个难题．后来这个人们发现这个问题也可以利用傅里叶来求解．本文通过对历史上这类倒数Ｎ次方求和问题的解答得出
来在复平面上复教列Ｎ次方倒数收敛性的判断条件与部分级数的求解
【关键词】无穷级教；自然数平方倒数和：辐角；复数列；复平面
Ｔｈｅ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｐｒｏ￣ｒｆｉｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｕｍ ｏｆ ｃＩｎｖｅｒｓｅ Ｎ Ｔｉｍｅｓ Ｓｑｕａｒｅ ｏｆ Ｃｏｒｎｐｌｅｘ Ｓｅｒｉｅｓ
ＹＩ Ｓｈａｎ－ｆｅｎｇ
（Ｇｕｉｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕｉｙａｎｇ Ｇｕｉｚｈｏｕ ５５０００１对门送来的绿豆糕，Ｃｈｉｎａ）
【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｓｑｕａｒｅ ｎａｔｕｒａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ ａ ｈｉｓｔｏｒｙ ｆａｍｏｕｓ ｐｒｏｂｌｅｍxp镜像，Ｅｕｌｅｒ ｃｒｅａｔｉｖｅｌｙ ｕｓｅ ｔｈｅ
ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ａｎａｌｏｇｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｅｒｉｅｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｏｏｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｗｉｔｈ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ，ｔｈｅｎ ｐｅｏｐｌｅ ｆｏｕｎｄ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｃａｎ
ａｌｓｏ ｂｅｓｏｌｖｅｄ ｂｙ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ小孔成像，．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｋｉｎｄ ｏｆ ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ ｎ ｔｉｍｅｓ ｐａｒｔｙ ｈｉｓｔｏｒｙ ａｎｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｗｏｒｋ ｉｔ ｏｕｔ ｆｏｒ ｎ ｓｑｕａｒｅ
ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｐａｒｔ ｓｅｒｉｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｐｌａｎｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｅｒｉｅｓ．
【Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓｌＩｎｉｆｎｉｔｅ ｓｅｒｉｅｓ；Ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ ｏｆ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅ ｏｆ ｎａｔｕｒｌａ ｎｕｍｂｅｒｓ；Ａｒｇｕｍｅｎｔ；Ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｅｒｉｅｓ；Ｃｏｍｐｌｅｘ ｐｌａｎｅ
以表示为｛ ｋａｎ ｉ）洗袜子，其中ｋ为辐角的正切值，而且实数列的每一项的值
与对应复数的模相等白鹿原 百度云。
历史上对于级数的研究的研究出现得很早．公元前４世纪人们就
定理１设ｆｒ ）为实轴上的一个数列，起ｎ次方倒数的和收敛于
知道了公比介于０和ｌ的几何级数可以求和．１７世纪牛顿莱・布尼兹
Ｓ．即：
在总结和发展前人工作的基础上同时建立了微积分的思想方法和理
ｓ： ＋ ＋ ＋ ＋．＿． 论．微积分的创立对级数的发展起到了巨大的促进作用．最终级数的
ｌ ｒ２ ｒ３ ｒ４ 理论得以建立 ｌ７世纪末ｌ８世纪初．有人曾经问德国大数学家莱布
则将ｘ轴旋转后与其对应的同辐角复数列ｆａ ＋ｂ ｉ｝Ｎ ｎ次方倒数
尼兹．自然数平方倒数这个无穷级数的和是多少．即：
＋
１自然数Ｎ次方的倒数和
１＋ １＋ ＋．－
和
形意八卦掌，＝？
一
专
・・・
１
一一
ｌ
一———
ｌ
— 一一
１
但莱布尼兹经过多次尝试都没能计算出来．于是让雅各布伯努利
来计算．但雅各布对此也无能为力安妮日记英文版，这个问题最后引起了著名数学家
欧拉的关注．欧拉经过反复思考．最终应用正弦函数的幂级数展开与
多项式的根与系数的关系采用类比的方法创造性的解决了这个问题．
当时的方法虽然有不严密的地方．但经过验证．欧拉所得的结果是正
确无疑的 其实这个问题应用牛顿吉．拉尔公式Ⅲ可以得到非常全面的
结果．即令
（ａｌ＋ｂｌｉ） （ａ２＋ｂ２ｉ） （ａ３＋ｂ３ｉ） （ａ４＋ｂ４ｉ）
也收敛
证明因为同辐角复数￣Ｊ｛ａｎ＋ｂ ｉ｝ｚｆＦ￣表示为ｒ．ｅ ），所以
＋
！ ＋ ！ 十 专 ＋．．．
（ａ１＋ｂｌｉ） （ａ２＋ｂ２ｉ） （ａ３＋ｂ３ｉ） （ａ４＋ｂ４ｉ）
彀ｎ）＝ ＋ ＋｝＋ ＋．．‘
而
＝
ｌ 汪峰 我如此爱你，ｌ
‘
ｌ ｌ ｌ
一
、
对于上面的情形我们实际上考虑的是同辐角数列模的ｎ次方倒
利用这个公式可以计算出
数和的收敛性来判断其收敛性，实际上我们可以用一个更简单的数列
来判断其收敛文建明。
（２）＝专＋ ＋ ＋ １＋…＝ ２ １ ２ 定理２设｛ ＋ｂ ｉ｝为同辐角数列中国奥运会是哪一年，如果其实部构成的数列｛ａ ｝的ｎ
次方倒数和收敛．则此同辐角数列的ｎ次方倒数和的收敛我国的珍稀动物。
证明因为同辐角数Ｙｌ￣｛ａ ＋ｂ ｉ）可以表示为ａ ＋ｋａ ｉ Ｊ，且ｆｄｆｎ｝的ｎ次
方倒数和收敛．不妨设其收敛于Ｔ．则
！ ＋ ！ ＋ ！ ＋ ！ ＋． ．
（ａｌ＋ｂ１ｉ） （ａ２十ｂ２ｉ） （ａ３＋ｂ３ｉ） （ａ ＋ｂ４ｉ）
ｃ智取威虎山3d， ＝古＋ ＋ ＋ ＋・－＝薯
ｃ４好朋友的定义，＝古＋ ＋ ＋ ＋…＝而２ｓ １ ６
（５）＝ ＋ ＋专＋ １＋…＝页２７而３ ８
２复平面上复数列Ｎ次方的倒数和
ｌ １ ｌ １
丽
１
＝
丽
（１
ｉ 丽
ａ 定义１若复数列ｆａ ＋ｂ ｉ）的每一项的实部和虚部都是整数志愿者，且每
项的辐角相同 则称这个复数列为具有相同辐角的整复数列2014元宵节，与此
显然收敛．综上得征。
对应的级数称为整复级数。 定理２说明了同辐角数列实部ｎ次方倒数和收敛关闭445端口的方法，则其ｎ次方倒
由以上定义不难看出如果一个复数列是同辐角数列暑假实践，则此数列可 数和收敛个性宣言。 （下转第１２８页）
１
叫
一
（＋ １） ：寺ａ言 ：ａ ：＋ ａ （１＋是ｉ）
作者简介：易善峰（１９８８一）道歉信英文，男，汉族对老师的祝福的话，贵州师范大学历史与政治学院２０１２级硕士研究生沃伦61巴菲特。
１ １ ４ １科技视界ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎ我的母校。１两种悲剧歌词。ｇＹ Ｖｉｓｉ催人奋进的句子。ｎ
１
本文发布于:2022-08-12 09:27:03，感谢您对本站的认可！
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