矩阵乘法，一般矩阵乘积

定义

设A为的矩阵，B为的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作，其中矩阵C中的第行第列元素可以表示为：

如下所示：

注意事项

1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。

2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。

3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

基本性质

乘积形式

除了上述的矩阵乘法以外，还有其他一些特殊的“乘积”形式被定义在矩阵上，值得注意的是，当提及“矩阵相乘”或者“矩阵乘法”的时候，并不是指代这些特殊的乘积形式，而是定义中所描述的矩阵乘法。在描述这些特殊乘积时，使用这些运算的专用名称和符号来避免表述歧义。

哈达马积

矩阵与矩阵的Hadamard积记作。其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积的m×n矩阵。例如，

克罗内克积

克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算，符号记作。克罗内克积也被称为直积或张量积。以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。计算过程如下例所示：

实现

C++代码

struct Matrix:vectoru003cvectoru003cintu003e u003e//使用标准容器vector做基类，需#include语句{        Matrix(int x=0,int y=0,int z=0)//初始化，默认为0行0列空矩阵        {                assign(x,vectoru003cintu003e(y,z));       }    int h_size()const//常量说明不可省，否则编译无法通过    {        return size();    }    int l_size()const    {        return empty()?0:front().size();//列数要考虑空矩阵的情况    }    Matrix pow(int k);//矩阵的k次幂，用快速幂实现，k为0时返回此矩阵的单位矩阵};Matrix operator*(const Matrix u0026m,const Matrix u0026n)//常量引用避免拷贝{    if(m.l_size()!=n.h_size())return Matrix();//非法运算返回空矩阵    Matrix ans(m.h_size(),n.l_size());    for(int i=0; i!=ans.h_size(); ++i)        for(int j=0; j!=ans.l_size(); ++j)            for(int k=0; k!=m.l_size(); ++k)                ans[i][j]+=m[i][k]*n[k][j];   return ans;}Matrix Matrix::pow(int k){    if(k==0)    {        Matrix ans(h_size(),h_size());        for(int i=0; i!=ans.h_size(); ++i)            ans[i][i]=1;        return ans;    }    if(k==2)return (*this)*(*this);    if(k%2)return pow(k-1)*(*this);    return pow(k/2).pow(2);}

实际应用

数据统计

某公司有四个工厂，分布在不同地区，同时三种产品，产量（单位；t），试用矩阵统计这些数据。

可用下述矩阵描述，其中四行分别表示甲乙丙丁四个工厂的生产情况，三列分布表示三种产品P1，P2，P3的产量。

再设矩阵，其中第一列表示三种产品的单件利润，第二列表示三种产品的单件体积。

矩阵C的第一列数据分别表示四个工厂的利润，第二列分别表示四个工厂产品需要的存储空间。

路径问题

给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数。

把给定的图转为邻接矩阵，即当且仅当存在一条边。令，那么，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。类似地，的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出即可。