舒尔补

定义

假设一个 的矩阵M被分为A, B, C, D四个部分，分别是以及的矩阵，也就是说：并且D是可逆的矩阵。则D在矩阵中的 舒尔补是：

这是一个的矩阵。舒尔补得名于数学家伊赛·舒尔，后者用舒尔补来证明舒尔引理。然而，舒尔补的概念在之前就曾经被使用过。

背景

舒尔补实际上是对原来的矩阵M进行一系列的初等变换操作后得到的矩阵，其转换矩阵是下三角矩阵：其中 表示一个的单位矩阵。矩阵M右乘转换矩阵L之后，左上角就会出现舒尔补，具体的形式是：

因此，矩阵M的逆，如果存在的话，可以用以及其舒尔补（如果存在的话）来表示：

当p和q都等于1（即A、B、C和D都是系数）时，我们可以得到一般的的矩阵的逆矩阵表达式：

这也说明了 是非零的数。

在矩阵方程求解中的应用

舒尔补很自然地可以在如下的方程组求解中发挥作用：其中x以及a是p维的列向量，而y以及b则是q维的列向量。矩阵A、B、C、D则同上面假设。将第二个方程左乘上矩阵，并将得到后的方程与第一个相减，就得到：

因此，如果可以知道D以及D的舒尔补的逆矩阵，就可以解出未知量x之后带入第二个方程 就可以解出y。这样，就将 矩阵的求逆问题转化成了分别求解一个矩阵以及一个 矩阵的逆矩阵的问题。这样就大大减低了复杂度（计算量）。实际上，这要求矩阵D满足足够好的条件，以使得算法得以成立。

概率论和统计学中的应用

假设有分别属于 以及 的随机列向量X,Y，并且 中的向量对 (X,Y)具有多维正态分布，其方差矩阵是对称的正定矩阵那么X在Y给定时的条件方差是矩阵C在V中的舒尔补：